Павел Некрасов и спор о свободе воли в математике
Дискуссия Павла Некрасова и Андрея Маркова о независимости случайных величин, статистической устойчивости и свободе воли.
- Область
- Теория вероятностей; философия науки
- Период
- Начало XX века
- Разновидность
- История научного спора
«Павел Некрасов и спор о свободе воли в математике» - история одной из необычных дискуссий в русской математике начала XX века, где технический вопрос теории вероятностей оказался связан с философией, социальной статистикой и представлениями о свободе человеческой воли. Центральными фигурами спора были московский математик Павел Алексеевич Некрасов и петербургский математик Андрей Андреевич Марков. Их разногласие касалось роли независимости случайных величин в законе больших чисел, но за формулами стояли разные представления о том, как понимать статистическую устойчивость массового человеческого поведения.[1]
Для истории математики спор важен прежде всего своим неожиданным результатом. Некрасов стремился подчеркнуть фундаментальное значение независимости в вероятностных закономерностях. Марков показал, что независимость не является необходимым условием: закон больших чисел может сохраняться и для определённых зависимых величин. Из этой программы в 1906-1907 годах выросло исследование «испытаний, связанных в цепь», которое стало одним из истоков современной теории цепей Маркова. Историк теории вероятностей Юджин Сенета прямо связывал появление марковской теории цепной зависимости с желанием опровергнуть положение Некрасова о необходимости попарной независимости для слабого закона больших чисел.[2]
Почему этот спор важен
История легко превращается в карикатуру: один математик якобы защищал «свободу воли», другой холодно разбил его философию формулой, после чего появились цепи Маркова. Такая версия эффектна, но слишком проста. Реальный сюжет сложнее. Некрасов был профессиональным математиком, автором работ по анализу и теории вероятностей, профессором и ректором Московского университета. Его интерес к свободе воли возник не вне математики, а внутри большой европейской дискуссии XIX века о том, почему статистика человеческого поведения обнаруживает устойчивость.
Эта проблема казалась почти парадоксальной. Отдельный человек принимает решения, меняет планы, действует под влиянием обстоятельств и собственных мотивов. Но когда статистики собирали данные о тысячах и миллионах людей, некоторые показатели из года в год оставались удивительно устойчивыми. В XIX веке подобные наблюдения касались рождаемости, браков, смертности, преступлений и других массовых явлений. Возникал вопрос: как совместить статистическую закономерность массы с представлением о свободе отдельного человека?
Некрасов попытался дать этому вопросу одновременно математический и философский ответ. Он придавал независимости отдельных событий особую роль: именно независимое действие множества элементов должно было, по его представлению, порождать устойчивость больших чисел. Марков атаковал слабое место этой конструкции - утверждение, что без независимости закон больших чисел невозможен. Его математический ответ оказался намного долговечнее философского спора, который его стимулировал.
Павел Некрасов
Павел Алексеевич Некрасов родился 8 (20) января 1853 года в селе Житово Рязанской губернии и умер 20 декабря 1924 года в Москве. В 1878 году он окончил физико-математический факультет Московского университета. В 1883 году получил степень магистра чистой математики, в 1886 году - доктора чистой математики и в том же году стал экстраординарным профессором.[3]
С 1890 года Некрасов был ординарным профессором кафедры чистой математики. В 1890-1893 годах занимал должность помощника ректора, а в 1893 году сам стал ректором Московского университета. Этот пост он занимал до 1898 года; затем до 1905 года был попечителем Московского учебного округа. В 1903-1905 годах Некрасов одновременно возглавлял Московское математическое общество.[3]
Его научные интересы были широки: дифференциальные и интегральные уравнения, алгебра, приближённые методы, теория вероятностей. В Московском университете он читал курсы элементарной теории вероятностей, метода наименьших квадратов и курс с характерным названием «Диалектика и математические принципы естествознания и общественной науки». Само соседство этих дисциплин показывает, что для Некрасова математика не была изолированной техникой вычислений: его интересовал вопрос о месте математических закономерностей в природе и обществе.[3]
К числу его основных трудов относятся «Новые основания учения о вероятностях сумм и средних величин» (1901-1902), «Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности» (1902), учебные курсы по теории вероятностей и более позднее крупное руководство «Теория вероятностей», второе издание которого вышло в 1912 году.[3][1]
Московская математическая среда
Некрасов принадлежал не к Петербургской школе Чебышёва, из которой вышли Марков и Ляпунов, а к московской математической традиции. Его учителем был Николай Васильевич Бугаев - одна из центральных фигур Московского математического общества конца XIX века. В московской среде математические идеи иногда получали более широкий философский смысл, чем это было принято у петербургских вероятностников.
Это различие не стоит превращать в жёсткую схему «философская Москва против строгого Петербурга». Обе среды занимались серьёзной математикой, а границы между ними не были непроницаемыми. Тем не менее в конкретном споре о вероятности контраст оказался заметен. Марков был чрезвычайно подозрителен к философским выводам, которые, по его мнению, не следовали из математических доказательств. Некрасов, напротив, считал возможным строить мост от теории вероятностей к общественным и философским вопросам.
В 1904 году Некрасов выступил с речью «Московская философско-математическая школа и её основатели» памяти Бугаева. Уже само название показывает, что он воспринимал московскую традицию именно как соединение математического и философского исследования.[3]
От Кетле к «социальной физике»
Чтобы понять позицию Некрасова, необходимо вернуться на несколько десятилетий назад - к бельгийскому астроному и статистику Адольфу Кетле. В 1835 году Кетле опубликовал труд Sur l'homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique sociale, в котором пытался применять статистические методы к человеческому обществу. Его особенно впечатляла относительная устойчивость массовых показателей поведения.[1]
Кетле стал одним из наиболее известных популяризаторов идеи «среднего человека». Индивидуальные характеристики и поступки колеблются, но большое число наблюдений образует сравнительно устойчивые средние. Такая картина переносила язык вероятности из азартных игр и физических измерений в область общества.
Здесь сразу возникала философская проблема. Если число браков, преступлений или иных действий обнаруживает статистическую регулярность, означает ли это, что отдельный человек не свободен? Кетле сам обращался к проблеме свободной воли. В 1847 году он опубликовал специальную работу о влиянии человеческой свободы воли на социальные факты, в частности на число браков. Таким образом, связь статистики с проблемой свободы появилась задолго до Некрасова.[1]
Некрасов в 1902 году сознательно вернулся к этому наследию. Подзаголовок его книги «Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности» прямо говорил о «пересмотре оснований социальной физики Кетле». Это был не случайный философский комментарий к вероятности, а попытка переосмыслить одну из центральных проблем социальной статистики XIX века.[1]
Независимость как причина закономерности
Ключевой ход Некрасова состоял в особой роли, которую он приписывал независимости. Юджин Сенета в историческом исследовании 2003 года формулирует его позицию так: Некрасов переработал «социальную физику» Кетле, рассматривая социальную независимость как первичную причину статистической регулярности.[1]
Математический образ здесь был соблазнительно ясен. Если имеется огромное число независимых случайных величин, их суммарное или среднее поведение при подходящих условиях стабилизируется. Закон больших чисел превращает хаотические отдельные результаты в устойчивую массовую картину. Для социальной философии можно было попытаться прочитать эту схему так: свободные, то есть в некотором смысле независимые, индивидуальные действия порождают регулярность общества в целом.
Но между математической независимостью случайных величин и философской свободой человека нет автоматического равенства. Первая - строго определённое отношение между вероятностными событиями или величинами. Вторая относится к совершенно иной области. Именно на переходах между этими уровнями возникала напряжённость позиции Некрасова.
Сам Некрасов не ограничивался популярной метафорой. Его математические работы конца 1890-х и начала 1900-х годов были посвящены вероятностям сумм и средних величин, центральным предельным вопросам и условиям статистической устойчивости. В 1898 году он опубликовал работу об общих свойствах многочисленных независимых событий и приближённом вычислении функций очень больших чисел; в 1901-1902 годах вышли три части «Новых оснований учения о вероятностях сумм и средних величин».[1]
Именно поэтому последующая полемика была серьёзной математической дискуссией, а не спором математика с философом-дилетантом.
«Философия и логика науки о массовых проявлениях»
В 1902 году Некрасов опубликовал объёмное исследование «Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности (Пересмотр оснований социальной физики Кетле)». Работа вышла в Москве в университетской типографии и одновременно была опубликована в «Математическом сборнике», том 23, на страницах 436-604.[1]
Это важная библиографическая деталь. Текст, соединявший вероятность, общество и философию, появлялся не на периферии математической культуры, а в одном из главных российских математических журналов.
Некрасова интересовал механизм, позволяющий примирить два наблюдения: непредсказуемость индивидуального поступка и устойчивость массовой статистики. В его конструкции независимость приобретала не только технический, но и мировоззренческий вес. Сенета подчёркивает религиозную и философскую составляющую взглядов Некрасова и именно в этом контексте рассматривает его обращение к свободе воли.[1]
Однако исторически точнее не говорить, будто Некрасов «доказал свободу воли математикой». Он пытался встроить математическую теорию независимых событий в более широкую концепцию человеческого общества. Спор начался там, где философская конструкция стала опираться на утверждение о математической необходимости независимости.
Слабый закон больших чисел
В простейшем виде закон больших чисел утверждает, что при большом числе наблюдений средний результат становится всё более устойчивым. Классический пример - серия независимых бросков монеты: отдельный результат непредсказуем, но доля орлов в длинной серии приближается к вероятности орла.
В XIX веке независимость была естественным условием многих формулировок закона больших чисел. Но из того, что условие удобно и достаточно, не следует, что оно необходимо.
Вопрос можно сформулировать жёстко: если случайные величины зависят друг от друга, обязан ли закон больших чисел исчезнуть? Некрасов в своей вероятностно-философской программе придавал независимости именно фундаментальное значение. Для Маркова это стало математической мишенью.
Возражение Маркова
Андрей Андреевич Марков был учеником Чебышёва и одним из главных представителей Петербургской школы теории вероятностей. Он отличался склонностью к резкой полемике и особенно нетерпимо относился к выводам, которые считал логически необоснованными. В споре с Некрасовым Маркову было недостаточно сказать, что философская интерпретация независимости сомнительна. Требовалось разрушить математическое основание утверждения.
Юджин Сенета в статье «Markov and the Birth of Chain Dependence Theory» пишет, что работа Маркова над цепной зависимостью была мотивирована желанием опровергнуть утверждение Некрасова, согласно которому попарная независимость случайных слагаемых необходима для слабого закона больших чисел. В 1906 году Марков получил закон больших чисел для систем зависимых случайных величин, включая конечные однородные цепи того типа, который позднее стал носить его имя.[2]
Эта реконструкция важна, но требует аккуратной формулировки. Она принадлежит Сенете как историку вероятности и опирается на тексты эпохи. Было бы чрезмерным сводить всю исследовательскую программу Маркова к одному личному спору: его работа развивала более широкую программу Чебышёва по ослаблению условий предельных теорем. Но полемика с Некрасовым действительно дала конкретную задачу, на которой зависимость стала центральным объектом исследования.
1906 год: зависимость вместо независимости
В 1906 году Марков опубликовал работу «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга». Уже название демонстрировало прямой сдвиг проблемы. Марков не отказывался от закона больших чисел - он расширял область его действия.
Главная идея заключалась в том, что зависимость бывает разной. Если соседние случайные величины связаны, но влияние далёкого прошлого достаточно ослабевает, статистическая устойчивость может сохраняться. Следовательно, сам факт зависимости ещё не уничтожает закон больших чисел.
Для спора с Некрасовым этого было достаточно. Независимость могла оставаться удобным условием, но переставала быть логически необходимым фундаментом статистической регулярности.
Через год, в 1907 году, Марков продолжил исследование в работе о «замечательном случае зависимых испытаний». Постепенно возник класс моделей, в которых вероятность следующего состояния определяется текущим состоянием. Позднее они получили название цепей Маркова.
Контрпример сильнее философского возражения
В этом эпизоде хорошо видна особенность математической полемики. Можно бесконечно спорить о том, насколько правомерно связывать независимость случайных величин со свободой человеческой воли. Но математическое утверждение о необходимости независимости проверяется иначе: достаточно построить класс зависимых величин, для которых закон больших чисел всё равно выполняется.
Марков именно это и сделал. Его ответ был не альтернативной философией, а расширением самой теории вероятностей.
Исторический парадокс состоит в том, что мировоззренчески нагруженный спор подтолкнул к результату, который затем полностью отделился от первоначального философского контекста. Современная цепь Маркова не несёт в себе никакого тезиса о свободе воли. Это строгая вероятностная конструкция, применимая к физике, химии, биологии, компьютерным сетям, языку и множеству других процессов.
Почему возникла именно «цепь»
Если случайные величины не независимы, необходимо задать форму их зависимости. Самый простой вариант - сделать следующий шаг зависящим от непосредственно предыдущего состояния.
Например, система находится в состоянии А или Б. Вероятность следующего состояния меняется в зависимости от того, где система находится сейчас. При этом более далёкое прошлое не требуется непосредственно для вычисления следующего перехода.
Такой тип зависимости достаточно прост для строгого анализа и одновременно достаточно богат, чтобы опровергнуть тезис о необходимости независимости. Поэтому «цепная» зависимость оказалась естественным инструментом Маркова.
В дальнейшем эта конструкция значительно выросла за пределы исходного спора. Марков применил её к последовательностям букв в «Евгении Онегине», а в XX веке теория была включена в общую математику случайных процессов.
Где проходит граница между математикой и философией
Спор Некрасова и Маркова особенно интересен тем, что заставляет различать несколько уровней утверждений.
Первый уровень - математический: при каких условиях выполняется закон больших чисел? Здесь ответ может быть доказан теоремой или опровергнут контрпримером. Второй уровень - статистический: почему массовые человеческие показатели оказываются относительно устойчивыми? Здесь уже требуется работа с реальными данными и множеством социальных механизмов. Третий уровень - философский: совместима ли статистическая регулярность поведения с человеческой свободой? Этот вопрос нельзя решить одной вероятностной теоремой.
Некрасов пытался связать все три уровня единой конструкцией. Марков показал, что математическая часть такой конструкции не требует того условия, которому Некрасов придавал философское значение. Поэтому результат Маркова не «опровергал свободу воли» - он опровергал математическую необходимость независимости для определённого класса предельных закономерностей.
Это различие принципиально. Оно позволяет увидеть настоящий масштаб спора, не превращая его ни в антирелигиозную легенду, ни в доказательство философии средствами математики.
Кетле тоже не давал простого ответа
В популярном пересказе Кетле иногда изображают сторонником жёсткого социального детерминизма: раз статистика устойчива, значит отдельный человек якобы ничего не решает. История сложнее. Кетле сам специально обсуждал свободную волю и её отношение к статистическим закономерностям. В 1847 году он опубликовал работу «Statistique morale. De l'influence du libre arbitre de l'homme sur les faits sociaux…», посвящённую именно влиянию человеческой свободы на социальные факты.[1]
Для Некрасова наследие Кетле было отправной точкой, а не готовым решением. Его книга 1902 года прямо заявляла о пересмотре оснований социальной физики Кетле.
Поэтому интеллектуальная линия выглядит не как простое заимствование: Кетле поставил проблему статистической регулярности общества, Некрасов связал её с собственной концепцией социальной независимости, Марков разрушил тезис о математической необходимости независимости.
Независимость и свобода - не одно и то же
Современный читатель легко замечает двусмысленность слова «независимость». В вероятности независимость имеет строгое математическое определение. Если два события независимы, знание наступления одного не меняет вероятность другого. Для случайных величин определение формулируется через совместное распределение.
«Независимость» человеческого действия в философском или политическом смысле означает нечто совершенно иное. Человек может быть свободным в одном смысле и статистически зависимым от множества факторов в другом.
В начале XX века граница между математической статистикой и философией массового общества ещё активно обсуждалась. Поэтому перенос терминов казался менее искусственным, чем сегодня. Но именно спор Маркова с Некрасовым хорошо показывает опасность такого переноса: математическое свойство нельзя автоматически наделять философским содержанием.
Некрасов как математик, а не только оппонент Маркова
Позднейшая слава Маркова сделала Некрасова второстепенным персонажем собственного научного сюжета. Это искажает масштаб его фигуры в дореволюционной российской математике. Некрасов был профессором крупного университета, ректором, президентом Московского математического общества и автором обширных исследований по анализу и вероятности.[3]
Его работы по центральным предельным вопросам вызывали критику Маркова и Ляпунова, однако сама полемика способствовала уточнению условий предельных теорем. История математической науки нередко развивается именно так: ошибочный или чрезмерно сильный тезис оказывается продуктивным, потому что заставляет других исследователей строить более общий результат.
В этом смысле Некрасов сыграл роль интеллектуального катализатора. Это не превращает его ошибочные утверждения в правильные, но помогает понять, почему его место в истории вероятности нельзя свести к слову «заблуждался».
Административная карьера
Научная деятельность Некрасова сочеталась с чрезвычайно активной университетской и государственной службой. В 1893-1898 годах он был ректором Московского университета. В 1898 году, в последний год его ректорства, при университете было основано Педагогическое общество. Затем Некрасов стал попечителем Московского учебного округа и занимал эту должность до 1905 года.[3]
Такое положение делало его не только учёным, но и влиятельным участником образовательной политики Российской империи. Одновременно в 1903-1905 годах он был президентом Московского математического общества - должность, которую до него занимал Николай Бугаев, а после него Николай Жуковский.[3]
Эта двойная роль важна для понимания масштаба фигуры. Философские выступления Некрасова исходили не от маргинального автора, а от одного из наиболее заметных представителей московской университетской математики своего времени.
После 1905 года
После 1905 года административная карьера Некрасова изменилась. В дальнейшем он продолжал заниматься вероятностью, философией науки и общественными вопросами. В 1912 году вышло второе издание его большого руководства «Теория вероятностей. Дополненная статистической теорией вероятностей и элементарной номографией» объёмом более пятисот страниц.[1]
В том же году была опубликована книга «Вера, знание, опыт. Основной метод общественных и естественных наук». Само сочетание понятий в названии показывает, что Некрасов не отказался от программы соединения математики, естествознания, социальной теории и религиозно-философского мировоззрения.[1]
После революции Некрасов вернулся к преподаванию в Московском университете; «Летопись Московского университета» указывает его как ординарного профессора кафедры математики в 1917-1924 годах. Он умер в Москве в декабре 1924 года.[3]
Посмертная советская критика
Философская сторона наследия Некрасова имела неожиданное продолжение уже после его смерти. В 1930-е годы в Советском Союзе развернулась политико-идеологическая кампания вокруг вопросов философских оснований математики. Юджин Сенета в специальном исследовании 2004 года показывает, что одним из объектов критики стали религиозно окрашенные дореволюционные работы Некрасова, а через них - более широкая традиция Московского математического общества.[4]
В 1933 году математик и политический активист Михаил Орлов опубликовал брошюру «Математика и религия», написанную под влиянием Эрнста Кольмана. По оценке Сенеты, Некрасов оказался в ней одним из центральных объектов нападок именно из-за религиозной направленности части своих дореволюционных сочинений.[4]
Этот эпизод частично объясняет, почему имя Некрасова надолго оказалось почти исключено из популярной истории теории вероятностей. Однако политическая критика 1930-х и математические возражения Маркова - разные вещи. Первое было идеологической кампанией, второе - содержательной научной полемикой. Смешивать их означало бы снова заменить историю науки простой схемой.
Возвращение Некрасова в историю вероятности
Во второй половине XX века историки математики начали внимательнее изучать забытые российские работы по вероятности. Существенную роль сыграли исследования Юджина Сенеты, Оскара Шейнина и других авторов. В результате Некрасов стал рассматриваться не только как философски эксцентричный оппонент Маркова, но и как участник важных споров о центральной предельной теореме, законе больших чисел и социальной статистике.
Сенета в 1996 году использовал конфликт Маркова с Некрасовым для реконструкции происхождения теории цепной зависимости. В 2003 году он отдельно исследовал интеллектуальную связь между Кетле и Некрасовым и проблему свободной воли. В 2004 году показал, как религиозно-философское наследие Некрасова стало объектом советской идеологической борьбы.[2][1][4]
Так возник более сложный портрет: сильный профессиональный математик, влиятельный университетский администратор, представитель московской философско-математической традиции и одновременно автор концепции, одна из математических предпосылок которой оказалась неверной - но именно её опровержение стимулировало фундаментальный результат другого учёного.
От спора к «Евгению Онегину»
После работ 1906-1907 годов Марков продолжал исследовать зависимые последовательности. В 1913 году он применил свою конструкцию к 20 000 буквам «Евгения Онегина», разделив их на гласные и согласные. Этот знаменитый опыт уже не был прямой полемикой с Некрасовым, но принадлежал той же исследовательской линии: показать, что зависимая последовательность может быть предметом строгого вероятностного анализа.
В тексте Пушкина зависимость видна особенно наглядно. Вероятность гласной после гласной и после согласной различается в несколько раз. Тем не менее длинная последовательность обладает устойчивыми частотами и допускает математическое описание.
Получается необычная историческая цепь: европейская социальная статистика Кетле → философия массового поведения Некрасова → спор о необходимости независимости → марковская теория зависимых испытаний → статистическое исследование Пушкина → общая теория случайных процессов XX века.
Что именно Марков опроверг
Важнейшая осторожность касается формулировки результата.
Марков не доказал, что независимость «не нужна вообще». Для вероятностных теорем всегда требуются определённые условия. Слишком сильная и долговременная зависимость может полностью изменить предельное поведение системы.
Его результат показывал другое: независимость не является единственным возможным условием закона больших чисел. Можно определить классы зависимых последовательностей, для которых статистическая устойчивость сохраняется.
Это различие превращает спор из философского лозунга в нормальную математическую проблему: какие именно типы зависимости совместимы с теми или иными предельными теоремами?
В XX веке этот вопрос стал огромной самостоятельной областью. Теория стационарных процессов, эргодические теоремы, mixing-условия и разнообразные марковские модели исследуют разные формы статистической зависимости намного тоньше, чем это было возможно во времена исходного спора.
Можно ли считать Некрасова «причиной» цепей Маркова
В историографии встречается сильная формулировка, согласно которой именно желание опровергнуть Некрасова мотивировало марковские исследования цепной зависимости. Она имеет серьёзное основание в работе Сенеты 1996 года.[2]
Но причинность в истории науки редко сводится к одному стимулу. Марков уже принадлежал к школе Чебышёва, где центральной исследовательской задачей было получение предельных теорем при возможно более общих условиях. Проблема зависимых величин естественно вписывалась в эту программу.
Поэтому корректнее говорить, что полемика с Некрасовым стала важным непосредственным контекстом и стимулом для конкретного шага Маркова. Без петербургской традиции предельной теории этот шаг вряд ли выглядел бы так же. Без тезиса Некрасова у Маркова мог не появиться именно такой удобный объект для опровержения. Исторический результат возник из пересечения двух линий.
Хронология
| Год | Событие |
|---|---|
| 1835 | Адольф Кетле публикует труд, связанный с концепцией «социальной физики». |
| 1847 | Кетле специально рассматривает влияние свободной воли на социальные статистические факты. |
| 1853 | Рождается Павел Алексеевич Некрасов. |
| 1878 | Некрасов оканчивает физико-математический факультет Московского университета. |
| 1886 | Получает степень доктора чистой математики и становится экстраординарным профессором. |
| 1890 | Становится ординарным профессором Московского университета. |
| 1893-1898 | Ректор Московского университета. |
| 1898 | Некрасов публикует работу об общих свойствах многочисленных независимых событий. |
| 1898-1905 | Попечитель Московского учебного округа. |
| 1901-1902 | Выходят части «Новых оснований учения о вероятностях сумм и средних величин». |
| 1902 | Публикуется «Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности». |
| 1903-1905 | Некрасов - президент Московского математического общества. |
| 1906 | Марков распространяет закон больших чисел на определённые зависимые величины. |
| 1907 | Марков публикует исследование специального случая зависимых испытаний. |
| 1912 | Выходят второе издание «Теории вероятностей» Некрасова и книга «Вера, знание, опыт». |
| 1913 | Марков применяет теорию зависимых последовательностей к «Евгению Онегину». |
| 1917-1924 | Некрасов вновь преподаёт математику в Московском университете. |
| 1924 | Смерть Павла Некрасова. |
| 1933 | Выходит идеологическая брошюра Михаила Орлова «Математика и религия», в которой наследие Некрасова подвергается нападкам. |
| 1996 | Юджин Сенета публикует исследование о роли спора с Некрасовым в рождении теории цепной зависимости. |
| 2003 | Сенета публикует отдельное исследование о Кетле, Некрасове, статистической регулярности и свободе воли. |
Значение
Спор Маркова и Некрасова ценен тем, что показывает, как фундаментальная математика может возникнуть на границе нескольких интеллектуальных проблем. Исходный вопрос был не «как создать цепь Маркова?», а можно ли считать независимость необходимым условием статистической регулярности. Для Некрасова ответ имел философское значение; для Маркова он стал предметом строгого математического опровержения.
Результат пережил первоначальную дискуссию. Современные цепи Маркова используются без какой-либо связи со свободой воли, религией или социальной физикой. Но историческое происхождение напоминает, что математические понятия не всегда рождаются внутри полностью изолированной логической системы. Иногда новую теорию запускает спор о том, насколько далеко вообще разрешено переносить математическую модель за пределы математики.
В этой истории Некрасов оказался неправ в одном принципиальном математическом утверждении, но его ошибка была продуктивной. Она заставила Маркова показать не просто недостаток чужого доказательства, а существование целого класса закономерных зависимых процессов. Именно поэтому Некрасов остаётся важной фигурой в истории происхождения цепей Маркова.
См. также
- Цепи Маркова
- Андрей Андреевич Марков
- Марков и «Евгений Онегин»
- Закон больших чисел
- Петербургская школа теории вероятностей
- Московская математическая школа
- Адольф Кетле
- Социальная физика
Источники и литература
- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 Eugene Seneta. Statistical Regularity and Free Will: L. A. J. Quetelet and P. A. Nekrasov // International Statistical Review. 2003. Vol. 71. № 2. P. 319-334.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Eugene Seneta. Markov and the Birth of Chain Dependence Theory // International Statistical Review. 1996. Vol. 64. № 3. P. 255-263.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 Некрасов Павел Алексеевич // Летопись Московского университета.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Eugene Seneta. Mathematics, religion, and Marxism in the Soviet Union in the 1930s // Historia Mathematica. 2004. Vol. 31. № 3. P. 337-367.
- Некрасов П. А. Общие свойства многочисленных независимых событий в связи с приближённым вычислением функций от весьма больших чисел // Математический сборник. 1898. Т. 20. С. 431-442.
- Некрасов П. А. Новые основания учения о вероятностях сумм и средних величин. Ч. 1-3. 1901-1902.
- Некрасов П. А. Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности (Пересмотр оснований социальной физики Кетле). Москва: Университетская типография, 1902.
- Некрасов П. А. Теория вероятностей, дополненная статистической теорией вероятностей и элементарной номографией. 2-е изд. Санкт-Петербург: К. Л. Риккер, 1912.
- Некрасов П. А. Вера, знание, опыт. Основной метод общественных и естественных наук. Санкт-Петербург: К. Л. Риккер, 1912.
- Seneta E. Markov and the Birth of Chain Dependence Theory // International Statistical Review. 1996. Vol. 64. № 3. P. 255-263.
- Seneta E. Statistical Regularity and Free Will: L. A. J. Quetelet and P. A. Nekrasov // International Statistical Review. 2003. Vol. 71. № 2. P. 319-334.
- Seneta E. Mathematics, religion, and Marxism in the Soviet Union in the 1930s // Historia Mathematica. 2004. Vol. 31. № 3. P. 337-367.