Андрей Колмогоров и основания современной теории вероятностей

Основания современной теории вероятностей

Андрей Колмогоров и Игорь Зурбенко.

Аксиоматическое основание вероятности на языке теории меры и аналитическая теория непрерывных марковских процессов.

Область

Теория вероятностей; теория случайных процессов

Период

1931–1933 годы — основополагающие работы

Разновидность

Научная теория

Вид

Аксиоматическая система

Исследователи

Андрей Николаевич Колмогоров

«Андрей Колмогоров и основания современной теории вероятностей» - история превращения теории вероятностей из совокупности мощных, но разнородных методов в современную математическую дисциплину с единым аксиоматическим основанием и общей теорией случайных процессов. Центральную роль в этом переломе сыграл советский математик Андрей Николаевич Колмогоров, который в 1931 году заложил основы аналитической теории непрерывных марковских процессов, а в 1933 году в монографии Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung («Основные понятия теории вероятностей») сформулировал аксиоматику вероятности на языке теории меры.

Историческое значение работ Колмогорова состояло не в появлении одной новой теоремы. К началу XX века теория вероятностей уже обладала законом больших чисел, центральной предельной теоремой, цепями Маркова и развитой теорией ошибок. Но разные части дисциплины ещё нуждались в общем языке. Колмогоров связал классическую вероятностную традицию с теорией меры и создал схему, которая позволяла одинаково строго говорить о дискретных случайных событиях, непрерывных распределениях и целых случайных процессах.

Два наследства, которые нужно было соединить

К началу XX века теория вероятностей развивалась по двум мощным линиям.

Первая была классической вероятностной. От Якоба Бернулли через Лапласа, Пуассона, Чебышёва, Маркова и Ляпунова шло исследование повторных испытаний, предельных теорем, сумм случайных величин и зависимых последовательностей.

Пафнутий Львович Чебышёв. Строгие предельные методы Петербургской школы стали одним из важнейших предшественников колмогоровской вероятности.

Вторая линия возникла в анализе. Эмиль Борель, Анри Лебег и другие математики создали теорию меры и интеграла, способную работать с бесконечными множествами значительно строже, чем классические геометрические представления о длине и площади.

Современная вероятность возникла там, где эти две линии встретились. Событие стало рассматриваться как множество исходов. Вероятность - как мера этого множества. Случайная величина - как измеримая функция на пространстве исходов. Именно такое соединение Колмогоров сделал стандартным основанием дисциплины в 1933 году.

До Колмогорова вероятность уже была строгой - но не единой

Неверно представлять историю так, будто до 1933 года теория вероятностей была почти философской дисциплиной без доказательств.

Андрей Андреевич Марков. Его теория зависимых испытаний показала, насколько далеко строгая вероятность продвинулась ещё до аксиоматики Колмогорова.

Петербургская школа Чебышёва, Маркова и Ляпунова создала строгие методы закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Андрей Марков в 1906-1907 годах построил теорию зависимых испытаний, из которой выросли цепи Маркова. Александр Ляпунов дал один из фундаментальных вариантов центральной предельной теоремы.

Александр Михайлович Ляпунов - один из главных представителей русской вероятностной школы рубежа XIX-XX веков.

Проблема была другой.

Разные вероятностные схемы строились на собственных основаниях. Для конечного числа равновозможных исходов работало классическое отношение благоприятных случаев ко всем возможным. Для непрерывных распределений использовались интегралы. Для всё более сложных случайных процессов требовался язык, одинаково пригодный для всех этих объектов.

К 1920-м годам необходимость общей основы становилась всё очевиднее.

Теория меры меняет представление о событии

Теория меры дала новый ответ на вопрос, что такое вероятность. Вместо попытки определять вероятность через симметрию, частоту или геометрическую интуицию можно было задать абстрактное пространство всех возможных исходов и специальную числовую функцию - меру. Мера должна была удовлетворять правилам сложения для непересекающихся событий. Вероятностная мера отличалась тем, что мера всего пространства исходов равнялась единице.

С современной точки зрения это кажется естественным. Для начала XX века переход был концептуально глубоким: вероятность становилась частным случаем общей математической теории измерения множеств.

Москва вместо Петербурга

Колмогоров принадлежал уже к другому поколению и другой научной среде, чем Марков и Ляпунов.

Он родился 25 апреля 1903 года в Тамбове и вырос близ Ярославля. В 1920 году поступил в Московский университет.

Исторически любопытно, что молодой Колмогоров не ограничивал себя математикой. Он изучал металлургию и русскую историю и написал серьёзную работу о землевладении в средневековом Новгороде.

Этот эпизод не объясняет его будущую математику напрямую, но хорошо показывает интеллектуальную широту, которая останется характерной для Колмогорова на протяжении всей жизни.

Московская математическая школа 1920-х годов

В Московском университете Колмогоров оказался в среде, сильно отличавшейся от классической Петербургской школы.

Он работал под влиянием Николая Лузина и московской школы теории функций. Теория множеств, измеримые функции и методы действительного анализа были здесь повседневным инструментом.

Именно этот аналитический аппарат оказался особенно плодотворным для вероятности.

Александр Яковлевич Хинчин и Колмогоров стали центральными фигурами формирующейся в 1920-е годы московской школы теории вероятностей. «Летопись Московского университета» подчёркивает, что перенос методов теории функций действительного переменного в вероятность привёл к построению дисциплины на основе теории меры.

Первые вероятностные работы

Первую работу по теории вероятностей Колмогоров опубликовал в 1925 году совместно с Хинчиным. Она была посвящена сходимости рядов, члены которых определяются случайностью, и содержала результаты, связанные с суммами независимых случайных величин.

Это была уже не учебная работа начинающего исследователя. К середине 1920-х Колмогоров активно публиковался в анализе, теории множеств и вероятности. В 1929 году он завершил аспирантский этап исследований; к этому времени среди его результатов были сильный закон больших чисел и обобщение закона повторного логарифма.

От закона больших чисел к структуре случайности

Колмогоров продолжал классическую линию русской вероятности, но использовал иной аналитический аппарат.

Якоб Бернулли. Закон больших чисел, начатый его теоремой XVIII века, оставался одной из центральных тем вероятности и в работах Колмогорова.

Для закона больших чисел требовалось понять, насколько устойчиво среднее большого числа случайных величин. Для закона повторного логарифма - насколько велики предельные колебания случайной суммы. Такие задачи постепенно заставляли рассматривать вероятность не как набор отдельных комбинаторных схем, а как общую теорию функций и мер.

1929 год: мера и вероятность сближаются

В конце 1920-х Колмогоров уже прямо работал над соединением общей теории меры и исчисления вероятностей. В библиографии московской вероятностной школы фигурирует его работа 1929 года «Общая теория меры и исчисление вероятностей». Этот этап важен потому, что аксиоматика 1933 года возникла не внезапно. Колмогоров несколько лет последовательно переводил классические вероятностные вопросы на язык меры.

Одновременно возникала теория процессов

Но основания вероятности были только одной частью его программы. Марков исследовал дискретные цепи, где система переходила от шага к шагу. Физика и другие науки требовали моделей, где время меняется непрерывно. Броуновское движение, диффузия, случайные изменения физических систем нельзя было полностью описать цепью с дискретным временем. Следующий исторический вопрос звучал так:

как построить общую теорию марковского процесса, развивающегося непрерывно?

Колмогоров занялся этой задачей на рубеже 1920-1930-х годов.

Лето 1929 года и работа над процессами

В 1929 году Колмогоров путешествовал вместе с топологом Павлом Александровым по Волге, Кавказу и Армении. Во время пребывания у озера Севан он работал над марковскими процессами с непрерывным временем и непрерывным пространством состояний.

Этот биографический эпизод стал частью истории одной из фундаментальных работ XX века.

Результаты были опубликованы в 1931 году в Mathematische Annalen под названием Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung - «Об аналитических методах в теории вероятностей».

1931 год: от цепи Маркова к марковскому процессу

Encyclopedia of Mathematics прямо связывает с Колмогоровым создание основы общей теории непрерывновременных марковских процессов. Марковская идея состояла в том, что при известном настоящем вероятностное будущее не требует дополнительного знания прошлого. У Маркова начала XX века эта идея исследовалась прежде всего в дискретных последовательностях. Колмогоров перенёс её в мир непрерывного времени. Так теория получила возможность описывать системы, которые могут меняться в любой момент, а не только на шагах 1, 2, 3…

Уравнения Колмогорова

Из работы 1931 года выросли уравнения, которые сегодня называют прямым и обратным уравнениями Колмогорова. Они описывают изменение переходных вероятностей марковского процесса во времени. Для диффузионных процессов прямая форма тесно связана с уравнением Фоккера - Планка. Для процессов со скачками возникают соответствующие системы дифференциальных уравнений. Значение этих формул трудно свести к одному разделу математики. Они связали вероятность с дифференциальными уравнениями и анализом. Именно поэтому статья называлась работой об «аналитических методах» в вероятности.

Почему 1931 год важен для истории цепей Маркова

В истории цепей Маркова работа Колмогорова означает переход на новый уровень. Марков показал, как исследовать случайную систему, меняющуюся дискретными шагами. Колмогоров заложил общий аналитический аппарат для непрерывновременных марковских процессов. Это не было просто расширением числа состояний. Менялась сама геометрия времени и математический язык. Цепь становилась частью более широкой категории - случайного процесса.

Международный контекст

В 1931 году Колмогоров путешествовал по главным математическим центрам Европы: Берлину, Гёттингену, Мюнхену и Парижу. В Париже он много общался с Полем Леви; также встречался с Морисом Фреше.

Вероятность в этот момент была международной дисциплиной, в которой одновременно работали Леви, Фреше, Винер, Хинчин и другие исследователи. Колмогоров не создавал новую теорию в изоляции. Его вклад возник в период интенсивного обмена идеями между французской, немецкой, американской и советской математикой.

Москва становится новым центром вероятности

Если на рубеже XIX-XX веков мировое значение русской вероятности было связано прежде всего с Петербургской школой, то в 1920-1930-е годы центр тяжести перемещался в Москву. Хинчин и Колмогоров создали здесь новую школу, опиравшуюся на теорию функций и меры. Позднее к этой традиции будут принадлежать Борис Гнеденко и многие другие исследователи. В международной истории вероятность этого времени иногда называют «героической эпохой» - периодом Колмогорова, Леви, Хинчина, Дуба и Феллера, когда основы современной дисциплины формировались особенно быстро.

Но оставалась проблема оснований

Даже после крупных работ по предельным теоремам и случайным процессам оставался фундаментальный вопрос:

что математически означает сама вероятность?

Для конечной игры можно считать равновозможные исходы. Для непрерывной случайной величины отдельная точка может иметь вероятность ноль. Для случайной функции или траектории пространство возможных исходов вообще становится бесконечномерным. Классическое определение через «число благоприятных случаев» здесь уже не работает. Требовалось основание, способное одинаково описать все эти ситуации.

1933 год: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ответом стала небольшая, но чрезвычайно влиятельная книга Колмогорова Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, опубликованная в 1933 году в Берлине издательством Springer. Название переводится как «Основные понятия теории вероятностей». Именно эта работа закрепила современную аксиоматическую схему. MacTutor сравнивает роль книги для вероятности с евклидовским построением геометрии: вместо набора частных схем задаётся небольшой набор фундаментальных правил, из которых выводится дальнейшая теория.

Пространство исходов

Первым элементом современной схемы является пространство элементарных исходов. Оно обозначает все возможные результаты рассматриваемого случайного эксперимента. Для броска монеты это могут быть два исхода. Для положения частицы - непрерывное множество точек. Для случайной траектории - множество возможных функций времени. Колмогоровская схема не требует, чтобы пространство было конечным или чтобы каждый отдельный исход имел положительную вероятность. Именно это делает её универсальной.

Событие как множество

Событием становится некоторое множество исходов.

Например:

• выпал орёл;
• температура превысила заданный уровень;
• частица за время t оказалась в определённой области;
• случайная функция пересекла порог.

Чтобы работать с бесконечными объединениями и пределами событий, рассматривают специальную систему множеств - σ-алгебру.

Так теория вероятностей непосредственно соединяется с теорией меры.

Вероятность как мера

Вероятность в колмогоровской схеме - числовая функция P(A), заданная для событий. Она неотрицательна. Вероятность всего пространства равна единице. Для счётного набора попарно несовместных событий вероятность их объединения равна сумме вероятностей. Именно последнее - счётная аддитивность - делает систему пригодной для предельных операций. Вместо попытки сначала объяснить, «что в природе означает вероятность», математика задаёт правила, которым вероятность должна удовлетворять.

Почему аксиомы не решают философскую проблему

Колмогоровская аксиоматика не отвечает сама по себе на философский вопрос о природе случайности. Она не говорит, является ли вероятность объективной характеристикой мира, частотой, степенью знания или субъективной уверенностью. Она делает другое. Если конкретную ситуацию удалось представить вероятностным пространством и задать меру, вся дальнейшая математика выводится из единых аксиом. Так математический вопрос отделяется от вопроса интерпретации. Это одно из главных интеллектуальных преимуществ аксиоматизации.

От Бернулли к Колмогорову

Историю можно представить как последовательное расширение масштаба.

Якоб Бернулли. От его теоремы о повторных испытаниях до аксиоматики Колмогорова прошло более двух столетий.

Бернулли исследовал повторение одинаковых независимых испытаний. Чебышёв и Ляпунов построили общую теорию предельных закономерностей. Марков включил зависимость. Колмогоров создал общий язык, в котором все эти конструкции могли существовать внутри одной системы. Поэтому его вклад не отменял классическую русскую школу, а завершал её включение в современную структуру анализа.

Не только синтез предыдущих идей

Иногда книгу 1933 года описывают как простое приложение теории меры к вероятности. Это недооценивает значение работы. Связь вероятности с мерой обсуждалась до Колмогорова, и разные исследователи предлагали варианты аксиоматизации. Но именно колмогоровская схема оказалась достаточно простой, общей и удобной, чтобы стать международным стандартом. Её историческая сила заключалась не только в новизне отдельных компонентов, а в успешной организации всей дисциплины вокруг них.

Условная вероятность и условное ожидание

Одной из сложных областей старой теории была условная вероятность. Для дискретных событий формула казалась простой. В общих пространствах, особенно когда условие само связано с непрерывной случайной величиной, требовался более тонкий аппарат. Колмогоровская теория меры позволила дать строгий смысл условным конструкциям и впоследствии стала основой современного понятия условного математического ожидания. Без этого аппарата невозможно представить современную теорию мартингалов, фильтрацию информации и множество методов статистики.

Вероятность становится частью анализа

После 1933 года теория вероятностей окончательно заняла место внутри современной математики. Она использовала множества, меры, интегралы, функциональный анализ и дифференциальные уравнения. Одновременно она сохраняла собственные вопросы - случайные последовательности, предельные распределения, процессы и статистические закономерности. Так вероятность перестала выглядеть изолированным «исчислением случаев». Она стала одной из центральных частей анализа.

Что случилось с марковской теорией после Колмогорова

Работа 1931 года не закончила историю марковских процессов. Напротив, она открыла огромную область. В 1930-е и последующие десятилетия Вольфганг Дёблин, Уильям Феллер, Джозеф Дуб, Евгений Дынкин и другие исследователи развивали теорию цепей, процессов со скачками, диффузий и сильного марковского свойства. Дынкин позднее называл статью Колмогорова 1931 года фундаментальной для этой области. Из цепей Маркова выросла самостоятельная теория случайных процессов.

Хинчин и Московская школа

Колмогоров был не единственной фигурой нового московского центра. Александр Хинчин развивал законы больших чисел, стационарные процессы, эргодическую теорию и позднее теорию массового обслуживания и информацию. Их совместное влияние сформировало школу, которая в XX веке стала одним из ведущих мировых центров вероятности. В отличие от петербургской традиции Чебышёва, московская школа сильнее опиралась на теорию функций и меры. Но историческая связь между двумя школами была преемственной, а не конфликтной.

1938-1939 годы: Институт Стеклова

В конце 1930-х Колмогоров вместе с рядом ведущих московских математиков начал работать в Математическом институте имени В. А. Стеклова Академии наук СССР, сохраняя связь с университетом.

В институте был создан отдел теории вероятностей и математической статистики, который возглавил Колмогоров. Это важный институциональный этап. Вероятность окончательно превратилась в большую самостоятельную научную область с собственной школой, учениками и исследовательской программой.

За пределами вероятности

Колмогоров не ограничился одной дисциплиной. Он работал в топологии, теории функций, динамических системах, турбулентности, логике, теории информации и основаниях алгоритмической сложности. Эта широта важна для понимания его стиля. Для Колмогорова вероятность была частью более общего исследования структуры сложных явлений. Методы свободно переходили между областями.

Турбулентность как вероятностная проблема

В 1940-е годы Колмогоров создал знаменитую статистическую теорию турбулентности. Здесь случайность уже не была абстрактной последовательностью чисел. Она описывала сложное движение жидкости и распределение энергии между масштабами. Работы показали, насколько естественно вероятностное мышление вошло в физику XX века. Аксиоматика 1933 года и теория процессов создали язык, на котором такие задачи можно было ставить строго.

Ветвящиеся процессы

В 1947 году Колмогоров вместе с Николаем Дмитриевым опубликовал работу о ветвящихся случайных процессах. Подобные модели затем стали важны в биологии, демографии, физике частиц и других областях. Это ещё один пример того, как после аксиоматизации вероятность стала языком для огромного семейства процессов.

От энтропии к сложности

Позднее Колмогоров обратился к информации и алгоритмической сложности. Он предложил измерять сложность конечного объекта длиной кратчайшей программы, способной этот объект породить. Это уже другая область и другая историческая линия. Но общий интеллектуальный мотив узнаваем: вместо интуитивного понятия «сложности» строится строгая математическая конструкция. В этом отношении поздние исследования продолжают тот же стиль, который проявился в основаниях вероятности.

Клод Шеннон. Во второй половине XX века вероятностный язык Колмогорова и теория информации Шеннона стали двумя важнейшими основаниями математического исследования случайности и информации.

Почему 1933 год стал мировым стандартом

Главное свидетельство исторического успеха колмогоровской схемы - её почти повсеместное принятие.

Современный курс вероятности обычно начинается с тройки:

(Ω, F, P),

где Ω - пространство исходов, F - σ-алгебра событий, P - вероятностная мера. Это именно тот логический каркас, который стал стандартом после Grundbegriffe. Теоремы могут быть значительно более современными, чем книга 1933 года. Но основной язык остаётся колмогоровским.

Почему это было важно для статистики

Математическая статистика также получила единое основание. Выборка стала набором случайных величин на вероятностном пространстве. Оценка - функцией от выборки. Гипотеза - утверждением о распределении. Ошибка, доверительный интервал и критерий могли быть сформулированы внутри одной теории. Это позволило статистике XX века развиваться как строгой математической дисциплине, а не только как набору прикладных приёмов.

Почему это было важно для физики

Физика всё активнее требовала вероятностных моделей. Броуновское движение, статистическая механика, диффузия, шум и турбулентность нуждались в работе с непрерывными случайными объектами. Колмогоровская аксиоматика и теория процессов предоставили общий язык. Именно поэтому влияние его работ далеко вышло за пределы «чистой» вероятности.

Почему это было важно для цепей Маркова

Для истории цепей Маркова Колмогоров занимает особое положение. Марков создал конкретный класс дискретных зависимых последовательностей. Колмогоров включил марковский принцип в общую аналитику непрерывных процессов. После этого «марковский процесс» перестал быть только одной специальной цепью. Он превратился в фундаментальную категорию стохастики. Так связь Марков → Колмогоров - одна из главных линий развития вероятности XX века.

Что было новым в историческом масштабе

Колмогоровский перелом можно свести к трём преобразованиям. Первое: случайность получила единый аксиоматический язык. Второе: марковские процессы получили общий аналитический аппарат для непрерывного времени. Третье: вероятность стала естественно встраиваться в теорию меры и анализ, что открыло путь к современным случайным функциям, процессам и статистике. Эти изменения происходили почти одновременно. Именно поэтому 1931-1933 годы являются одним из самых насыщенных периодов истории вероятности.

Историческая хронология

Год	Событие
1903	Рождение Андрея Николаевича Колмогорова.
1920	Поступает в Московский университет; изучает математику, историю и другие дисциплины.
1922	Получает первые заметные результаты в теории функций и множеств.
1925	Совместно с Хинчиным публикует первую крупную работу по вероятности.
1929	Завершает аспирантский период; развивает сильный закон больших чисел и закон повторного логарифма.
1929	Работает над соединением общей теории меры и исчисления вероятностей.
1929-1930	Во время путешествия с Александровым занимается марковскими процессами непрерывного времени.
1931	Публикует Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung в Mathematische Annalen.
1931	Становится профессором Московского университета.
1931	Путешествует по главным математическим центрам Европы, общается с Леви и Фреше.
1933	В Берлине выходит Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
1930-е	Московская школа вероятности становится одним из мировых центров дисциплины.
1938-1939	Колмогоров входит в Математический институт имени Стеклова и возглавляет отдел теории вероятностей и статистики.
1940-е	Развивает статистическую теорию турбулентности.
1947	Совместно с Н. А. Дмитриевым публикует работу о ветвящихся случайных процессах.
1960-е	Формулирует идеи алгоритмической сложности, связывая вероятность и информацию с теорией вычислений.
1987	Смерть Колмогорова в Москве.

Наследие

Колмогоров не был первым великим теоретиком вероятности и не заменил собой Бернулли, Чебышёва, Маркова или Ляпунова. Его роль была другой. Он создал математический каркас, в котором результаты предшественников и новые классы случайных объектов могли существовать как части одной дисциплины. В 1931 году марковский процесс получил общий аналитический язык. В 1933 году сама вероятность получила аксиоматическое основание. После этого стало возможно строить современную теорию процессов, мартингалов, статистики, стохастического анализа и многочисленных приложений на общем фундаменте. Именно поэтому Колмогоров занимает центральное место не только в истории советской математики, но и в истории формирования современной математики случайности.

См. также

• Цепи Маркова
• Петербургская школа теории вероятностей
• Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова
• От Бернулли к Маркову: история закона больших чисел
• Андрей Андреевич Марков
• Александр Яковлевич Хинчин
• Марковский процесс
• Уравнения Колмогорова
• Броуновское движение
• Теория вероятностей

Источники и литература

• Kolmogoroff A. N. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. 1931. Bd. 104. S. 415-458.
• Kolmogoroff A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer, 1933.
• Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. 1938. № 5. С. 5-41.
• Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР. 1947. Т. 56. № 1. С. 7-10.
• Gnedenko B. V., Kolmogorov A. N. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. 1954.
• Shiryaev A. N. Kolmogorov: Life and Creative Activities // Annals of Probability. 1989. Vol. 17. № 3. P. 866-944.