Броуновское движение: от Роберта Броуна до математики Винера

Численная модель трёх двумерных броуновских траекторий. Точки отмечают начало движения.

Переход от наблюдения движения частиц в жидкости к физической теории и математической модели.

Область: Физика; теория вероятностей
Разновидность: История научного понятия

«Броуновское движение: от Роберта Броуна до математики Винера» - история превращения микроскопического наблюдения ботаника Роберта Броуна в один из фундаментальных объектов современной теории случайных процессов. В 1827 году Броун систематически наблюдал беспорядочное движение мельчайших частиц в жидкости; в 1905-1906 годах Альберт Эйнштейн и Мариан Смолуховский независимо связали такое движение с молекулярно-кинетической картиной вещества; в 1908-1909 годах Жан Перрен экспериментально подтвердил ключевые предсказания теории и использовал броуновское движение для определения числа Авогадро; в 1923 году Норберт Винер создал строгую математическую модель непрерывной случайной траектории, позднее названную винеровским процессом.^[1]^[2]

Историческое значение этого сюжета двойное. Для физики броуновское движение стало одним из наиболее убедительных свидетельств реальности молекул в эпоху, когда атомистическая картина вещества ещё оспаривалась. Для математики оно превратилось в образцовый случайный процесс и один из главных исходных объектов стохастического анализа XX века.

1827 год: ботаник смотрит на пыльцу

История началась не с математической задачи и не с физической теории.

Роберт Броун был одним из крупнейших ботаников своего времени. Летом 1827 года, исследуя строение и поведение пыльцы растений, он наблюдал под микроскопом мельчайшие частицы, находившиеся в жидкости. Броун заметил, что эти частицы находятся в непрерывном нерегулярном движении.^[3]

Его наблюдения проводились в июне, июле и августе 1827 года и были описаны в работе 1828 года с характерным длинным названием: «Краткое сообщение о микроскопических наблюдениях над частицами, содержащимися в пыльце растений, и об общем существовании активных молекул в органических и неорганических телах».^[3] Первоначальный контекст был биологическим. Броун исследовал пыльцу и пытался понять процессы, связанные с размножением растений. Но очень быстро опыт вышел за пределы ботаники.

Броун проверяет, не является ли движение признаком жизни

Наиболее важный шаг Броуна состоял в том, что он не остановился на частицах живого происхождения.

Если движение связано с жизненной силой пыльцы, оно должно исчезнуть для неживого материала.

Броун исследовал частицы других органических объектов, старых высушенных растений и затем неорганических веществ. Нерегулярное движение сохранялось.^[3]

Это разрушало простейшее биологическое объяснение. Движение не было уникальным свойством живой пыльцы. Перед исследователем оказался более общий физический феномен.

Что именно увидел Броун

Броун не видел молекулы воды, ударяющие по частице. Он видел только следствие - беспорядочные микроскопические перемещения взвешенного тела. Каждая видимая частица постоянно меняла направление. Движение не выглядело как падение, поток жидкости или регулярная вибрация. Важнейшей особенностью была его непрерывность. Частица не стремилась к покою так, как ожидалось бы от обычного макроскопического тела в спокойной жидкости.

Почему объяснение оказалось трудным

Для физики первой половины XIX века феномен был неудобным. Если жидкость находится в равновесии и никаких внешних сил не прикладывается, почему частица продолжает двигаться? Предлагались разные объяснения:

слабые течения жидкости;
испарение;
температурные неоднородности;
электрические эффекты;
химические процессы;
остаточная «жизненная» активность вещества.

Главная трудность состояла в том, что видимое движение возникало на масштабе, где обычная механическая интуиция переставала работать.

Броун не дал современного объяснения

В популярном пересказе иногда говорят, будто Броун «открыл движение молекул». Это неверно. Он систематически описал явление и показал его универсальность, но не создал молекулярно-кинетическую теорию броуновского движения. Между наблюдением 1827 года и общепринятым физическим объяснением прошло почти восемь десятилетий. Именно эта задержка делает историю особенно показательной: экспериментальный факт может существовать задолго до появления языка, способного его объяснить.

XIX век: спор об атомах

К концу XIX века химия широко использовала атомные и молекулярные представления, но вопрос об их физической реальности оставался предметом споров. Для многих учёных атом был удобной моделью, но не обязательно непосредственно существующим объектом. Энергетики и некоторые представители позитивистской философии науки считали возможным строить физику без утверждения о реальности невидимых атомов. Поэтому требовался эксперимент, который связывал бы измеримое макроскопическое явление с конкретными количественными свойствами молекулярной теории. Броуновское движение оказалось почти идеальным кандидатом.

Почему случайное движение могло свидетельствовать об атомах

Если жидкость состоит из огромного числа быстро движущихся молекул, видимая микроскопическая частица постоянно испытывает их удары. В среднем удары со всех сторон почти компенсируются. Но в каждый конкретный короткий момент компенсация не бывает идеальной. С одной стороны частица может получить чуть больший суммарный импульс, чем с другой. Затем направление дисбаланса меняется. На макроскопическом уровне миллиарды микроскопических воздействий усредняются и жидкость кажется спокойной. На достаточно маленьком видимом объекте флуктуации становятся заметны. Так молекулярное движение могло проявиться через нерегулярную траекторию частицы.

Альберт Эйнштейн и 1905 год

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал работу «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты».^[4]

Статья вошла в знаменитый цикл работ его «чудесного года», рядом с исследованиями фотоэффекта, специальной теории относительности и связи массы с энергией. Но в самой статье Эйнштейн был осторожен. Он писал, что рассматриваемые теорией движения, возможно, тождественны так называемому броуновскому молекулярному движению, однако имевшиеся у него сведения о самом феномене были недостаточно точны, чтобы утверждать это наверняка.^[5] Исторически это важно: теория рождалась из молекулярной физики, а не как попытка математически подогнать известное наблюдение Броуна.

Эйнштейн превращает движение в измеряемое предсказание

Главный успех Эйнштейна состоял в количественной формулировке. Он не пытался предсказывать точную зигзагообразную траекторию отдельной частицы. Это практически невозможно. Вместо этого теория описывала статистику большого числа перемещений. Ключевым объектом становилось среднее квадратическое смещение. Для броуновской частицы оно должно расти пропорционально времени:

$⟨ x^{2} ⟩ \propto t .$

Следовательно, характерное расстояние от начальной точки растёт как квадратный корень из времени, а не пропорционально времени, как при равномерном движении. Это одна из важнейших идей всей будущей теории случайных процессов.

Почему квадрат смещения важнее средней траектории

Среднее направленное смещение броуновских частиц примерно равно нулю. Одни частицы уходят вправо, другие влево. Если просто усреднить координаты, движение исчезнет. Но квадрат смещения всегда положителен. Он измеряет разброс. Так вместо невозможной задачи «куда именно пойдёт частица?» возникает статистический вопрос:

насколько далеко в среднем разойдутся частицы за заданное время?

Именно такой переход от отдельной непредсказуемой траектории к статистическому закону стал фундаментальным для стохастической физики.

Диффузия и броуновское движение

Эйнштейн связал движение видимых частиц с явлением диффузии. Если броуновские частицы многократно получают случайные толчки, их распределение со временем расширяется так же, как концентрация вещества при диффузии. Коэффициент диффузии оказался связан с температурой, вязкостью жидкости и размером частицы. Таким образом, теория соединяла:

микроскопическое случайное движение;
макроскопическую диффузию;
молекулярную кинетическую теорию;
измеряемые физические параметры.

Именно эта связь делала теорию проверяемой.

Новая возможность: измерить число Авогадро

Формулы Эйнштейна содержали величины, связанные с числом Авогадро. Следовательно, наблюдая движение видимых частиц, можно было получить оценку числа молекул в моле вещества. Это превращало броуновское движение в инструмент исследования атомного мира. Молекулы по-прежнему не наблюдались непосредственно. Но их существование оставляло количественно измеримый след в движении частиц.

Смолуховский: независимый путь

Почти одновременно к теории броуновского движения пришёл Мариан Смолуховский - физик, работавший во Львове. В 1906 году он опубликовал статью Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen в Annalen der Physik.^[6] MacTutor отмечает, что Смолуховский получил теоретическое объяснение броуновского движения во Львове независимо от Эйнштейна; эта работа стала одним из истоков математического изучения случайных процессов.^[7] Сам Смолуховский писал, что пришёл к сходным результатам несколькими годами ранее по иной линии рассуждений, но решил опубликовать их после появления работ Эйнштейна.^[8]

Эйнштейн и Смолуховский: не один и тот же вывод двумя именами

Их подходы были родственны, но не идентичны. Эйнштейн строил теорию через диффузию и осмотическое равновесие. Смолуховский использовал более прямую вероятностно-кинетическую картину столкновений и случайных перемещений. Оба пришли к статистическим законам одного порядка и сделали молекулярную интерпретацию экспериментально проверяемой. В истории физики их обычно рассматривают как независимых создателей количественной теории броуновского движения.

1908 год: уравнение Ланжевена

В 1908 году Поль Ланжевен предложил иной способ описания того же движения.^[9] Он записал обычное механическое уравнение движения частицы, но добавил к вязкому сопротивлению быстро меняющуюся случайную силу. Современная схематическая запись выглядит так:

$\frac{d v}{d t} = - γ v + случайная сила .$

Encyclopedia of Mathematics датирует уравнение Ланжевена 1908 годом и подчёркивает, что случайная сила представляла флуктуации давления, вызванные тепловым движением молекул жидкости.^[10] Так случайность впервые входила прямо в дифференциальное уравнение движения.

Почему подход Ланжевена оказался долговечным

Эйнштейн описывал распределение вероятностей. Ланжевен пытался описать движение самой частицы как результат суммы регулярной и случайной сил. Эти два взгляда дополняют друг друга. Один ведёт к диффузионным уравнениям и плотностям вероятности. Другой - к стохастическим дифференциальным уравнениям. Оба станут фундаментальными для физики XX века.

Экспериментальная развязка: Жан Перрен

Теоретические формулы сами по себе ещё не завершали спор об атомах. Нужна была экспериментальная проверка. Особенно важную роль сыграл французский физик Жан Батист Перрен.

В 1908 году Перрен исследовал распределение микроскопических частиц в эмульсиях и броуновское движение, проверяя предсказания молекулярно-кинетической теории.^[11]

Он варьировал размер частиц, свойства жидкостей, вязкость и температуру и получал согласующиеся оценки числа Авогадро.^[12]

Что измерял Перрен

Экспериментально можно было наблюдать множество частиц под микроскопом и фиксировать их положения через определённые промежутки времени. Перрен сравнивал статистику перемещений с формулами Эйнштейна. Особенно важно было проверить, что средний квадрат смещения растёт пропорционально времени. Кроме того, Перрен исследовал распределение частиц по высоте под действием гравитации и теплового движения. Разные методы давали сходные значения числа Авогадро. Именно согласование независимых измерений делало аргумент особенно сильным.

Атомы становятся экспериментальной реальностью

В Нобелевской лекции Перрен подчёркивал, что броуновское движение позволило перейти от молекулярной гипотезы к количественным измерениям размеров и числа молекул.^[12] По данным NobelPrize.org, его исследования подтвердили эйнштейновскую интерпретацию броуновского движения как результата столкновений видимых частиц с молекулами жидкости; в 1926 году Перрен получил Нобелевскую премию по физике «за работы по дискретной структуре материи и особенно за открытие седиментационного равновесия».^[11] Исторически это был один из наиболее важных эпизодов окончательного утверждения атомистической картины вещества в физике.

Почему броуновское движение убедило сильнее химической формулы

Химики давно пользовались атомами. Но скептик мог считать атом удобной вычислительной фикцией. Броуновское движение давало другой тип аргумента. Из предположения о реальных молекулах выводилась конкретная статистика видимого движения. Эта статистика измерялась. Из неё получалось число Авогадро. Разные методы приводили примерно к одному числу. Так ненаблюдаемая микроскопическая структура оставляла согласующийся след в наблюдаемой макроскопической реальности.

Физический феномен становится математической проблемой

К 1910-м годам физическое объяснение в основном прояснилось. Но математически оставалась трудность. Что такое идеальная непрерывная броуновская траектория? На любом масштабе она должна выглядеть нерегулярной. Если увеличивать временное разрешение, новые зигзаги не исчезают. Такой объект плохо укладывался в классическое представление о гладкой функции движения. Для математики требовалось создать целое пространство случайных траекторий и задать вероятность на этом пространстве.

Норберт Винер

Норберт Винер родился в 1894 году и стал одним из наиболее разносторонних американских математиков XX века.

Сегодня его чаще связывают с кибернетикой, но задолго до книги Cybernetics он сделал фундаментальный вклад в теорию случайных процессов. В 1923 году Винер опубликовал работу Differential-Space.^[2] Encyclopedia of Mathematics отмечает, что введённая в ней винеровская мера стала первым крупным расширением теории интегрирования за пределы конечномерных пространств.^[2]

В чём была математическая трудность

Обычная вероятность задаётся для конечного числа случайных величин сравнительно естественно. Можно говорить о вероятности того, что через секунду частица окажется в определённом интервале. Можно одновременно задать распределения положения в несколько фиксированных моментов. Но броуновская траектория - это целая функция времени. Нужно говорить о вероятности множеств функций. Например:

вероятность того, что траектория пересечёт заданный уровень;
вероятность остаться внутри интервала;
распределение максимума;
вероятность некоторого поведения на целом промежутке времени.

Для этого требовалась мера не на обычной линии или плоскости, а на бесконечномерном пространстве непрерывных функций.

Винеровская мера

Винер построил такой объект.

Современным языком стандартный винеровский процесс W(t) имеет:

W(0)=0;
независимые приращения;
гауссовские приращения;
дисперсию приращения, пропорциональную прошедшему времени;
непрерывные траектории.^[13]

Это уже не конкретная частица в конкретном стакане жидкости. Это абстрактная вероятностная модель непрерывного случайного движения. Именно она стала математическим стандартом броуновского движения.

Физическая частица и винеровский процесс - не одно и то же

Реальная броуновская частица имеет массу, инерцию и взаимодействует с конкретной жидкостью. Идеальный винеровский процесс является предельной моделью. Он описывает положение на временных масштабах, где микроскопические столкновения уже усреднены. Поэтому корректнее говорить, что винеровский процесс является главной математической моделью броуновского движения, а не буквальной полной картиной каждой физической детали.^[1] Это различие между физическим объектом и идеализированной моделью стало особенно важным в последующем стохастическом анализе.

Непредсказуемость и строгая структура

Винеровский процесс кажется воплощением хаоса. Траектория постоянно меняет направление. Но распределение процесса подчиняется очень строгим законам. Приращения на непересекающихся временных интервалах независимы. Их распределение зависит только от длины интервала. Средний квадрат смещения линейно растёт со временем. Так повторяется главный мотив всей истории вероятности:

отдельная траектория нерегулярна, но ансамбль траекторий обладает точной математической структурой.

Броуновское движение как марковский процесс

Винеровский процесс является марковским. Если известно текущее положение, вероятностное распределение будущего не требует дополнительного знания более ранней траектории. Именно поэтому броуновское движение стало одним из центральных примеров для общей теории марковских процессов.^[13] Здесь сходятся две исторические линии. Марков начал с дискретных цепей зависимых испытаний. Винер дал строгую модель непрерывного случайного движения. Колмогоров в 1931 году создал аналитическую основу общей теории непрерывновременных марковских процессов.

Колмогоров и диффузионное уравнение

Работа Андрея Колмогорова 1931 года об аналитических методах теории вероятностей описывала эволюцию переходных вероятностей марковских процессов через дифференциальные уравнения.^[14] Для броуновского движения соответствующее уравнение является диффузионным уравнением. Вероятностная плотность положения частицы «растекается» во времени. Так физическая теория диффузии, эйнштейновская статистика и колмогоровская теория марковских процессов оказались разными языками одного математического механизма.

От броуновского движения к стохастическому анализу

Винеровский процесс оказался слишком нерегулярным для обычного дифференциального исчисления. Классическая производная траектории не существует в привычном смысле. Но физика постоянно требовала уравнений, в которых случайное движение взаимодействует с силами, полями и другими процессами. В 1940-е годы Киёси Ито создал стохастическое исчисление и строгую теорию интегрирования по винеровскому процессу. Так броуновское движение стало фундаментом стохастических дифференциальных уравнений.

Почему это изменило математику XX века

До Винера вероятность в основном работала с конечными наборами случайных величин или последовательностями. Винеровская мера сделала объектом вероятности целую случайную функцию. Это открыло путь к огромному числу новых областей:

диффузионные процессы;
стохастические дифференциальные уравнения;
теория мартингалов;
математическая физика;
теория фильтрации;
финансовая математика;
случайные поля.

Броуновское движение стало своего рода «нулевой моделью» непрерывной случайности.

Броуновское движение и финансы

В XX веке винеровский процесс вышел далеко за пределы молекулярной физики. Он стал основой ряда моделей случайного изменения цен. Геометрическое броуновское движение вошло в классическую модель Блэка - Шоулза для ценообразования опционов. Физическая частица в жидкости и цена акции, конечно, не являются одним и тем же явлением. Связь математическая: обе модели используют непрерывный случайный процесс с гауссовскими приращениями как идеализированный элемент. Это показывает универсальность конструкции Винера.

Броуновское движение и биология

Модели случайного блуждания и диффузии используются в биологии для описания движения молекул, частиц и организмов. На клеточном уровне тепловые флуктуации буквально являются частью физической среды. В популяционной генетике родственные диффузионные модели используются уже абстрактно, для случайного изменения частот генов. Так один математический язык связывает физическую микроскопию с совершенно иными исторически поздними областями.

Непрерывный предел случайного блуждания

Одно из важнейших математических пониманий XX века состоит в том, что броуновское движение возникает как предел правильно масштабированного случайного блуждания. Дискретная частица делает много маленьких независимых шагов. Размер шага уменьшается. Частота шагов увеличивается. В подходящем пределе траектория сходится к винеровскому процессу. Эта связь объединяет дискретную вероятность XIX века с непрерывными процессами XX века.

От наблюдения к абстракции

Вся история броуновского движения особенно выразительна потому, что объект несколько раз менял смысл. Для Броуна это был микроскопический феномен внутри ботанического исследования. Для физиков конца XIX века - загадочная флуктуация. Для Эйнштейна и Смолуховского - следствие молекулярной теории теплоты. Для Перрена - экспериментальный путь к доказательству атомистики и измерению числа Авогадро. Для Винера - вероятность на пространстве функций. Для Колмогорова и Ито - фундаментальный пример марковского процесса и стохастического дифференциального уравнения. Один и тот же исторический объект постепенно переходил из ботаники в физику, а затем в чистую математику.

Почему история Броуна не должна начинаться с Эйнштейна

В учебниках основной математический рассказ часто начинается с формулы Эйнштейна. Исторически это скрывает важный факт. Броун не искал подтверждения атомов и не пытался построить случайный процесс. Он столкнулся с феноменом внутри совершенно другой научной программы. Почти восемьдесят лет явление существовало без окончательного объяснения. Это показывает, насколько нелинейно развивается наука: наблюдение, теория и математическая формализация могут принадлежать разным поколениям.

Почему история не заканчивается доказательством атомов

Не менее неверно завершать рассказ опытами Перрена. Для физики они действительно сыграли решающую роль. Но математическая жизнь броуновского движения только начиналась. Винеровский процесс стал объектом самостоятельной теории, а затем одним из центральных строительных блоков современной вероятности. Феномен, который помог доказать реальность атомов, оказался ещё важнее как идеальная модель непрерывной случайности.

Историческая хронология

Год	Событие
1827	Роберт Броун наблюдает непрерывное нерегулярное движение микроскопических частиц в жидкости.
1828	Выходит его «Краткое сообщение о микроскопических наблюдениях…».
Вторая половина XIX века	Обсуждаются различные физические объяснения постоянного движения частиц.
1905	Эйнштейн публикует количественную молекулярно-кинетическую теорию движения взвешенных частиц.
1906	Смолуховский независимо публикует кинетическую теорию броуновского движения.
1908	Ланжевен вводит уравнение движения с вязким сопротивлением и случайной силой.
1908-1909	Перрен экспериментально проверяет теорию и получает согласующиеся оценки числа Авогадро.
1923	Винер вводит меру на пространстве непрерывных траекторий в работе Differential-Space.
1926	Перрен получает Нобелевскую премию по физике за исследования дискретной структуры вещества.
1931	Колмогоров создаёт аналитическую теорию непрерывновременных марковских процессов.
1940-е	Ито создаёт стохастическое исчисление, в котором винеровский процесс становится фундаментальным интегратором.
Вторая половина XX века	Броуновские и диффузионные модели широко применяются в физике, биологии, финансах и инженерии.

Историческое значение

Броуновское движение занимает уникальное место в истории науки. Оно связало несколько эпох и дисциплин. Микроскоп Броуна показал явление, для которого ещё не существовало адекватной теории. Молекулярная физика Эйнштейна и Смолуховского превратила хаотическое движение в количественное предсказание. Перрен сделал его экспериментальным аргументом в пользу атомов. Винер превратил случайную траекторию в строгий объект математического анализа. Колмогоров включил этот объект в общую теорию марковских процессов. Ито создал исчисление, позволившее работать с такими траекториями как с динамическими системами. От ботанической пыльцы до стохастического анализа прошёл почти век. Именно эта длинная трансформация делает броуновское движение одним из наиболее наглядных примеров того, как исторически рождается современная математическая модель.

См. также

Источники и литература

↑ ^1,0 ^1,1 Brownian motion // Encyclopedia of Mathematics.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Wiener measure // Encyclopedia of Mathematics.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Robert Brown. A brief account of microscopical observations made on the particles contained in the pollen of plants. 1828.
↑ Albert Einstein. On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. Annalen der Physik, 1905.
↑ Albert Einstein. Investigations on the Theory of the Brownian Movement.
↑ Marian von Smoluchowski. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen // Annalen der Physik. 1906.
↑ Marian Smoluchowski // MacTutor History of Mathematics.
↑ On the Kinetic Theory of the Brownian Molecular Motion and of Suspensions.
↑ Paul Langevin. On the Theory of Brownian Motion. 1908.
↑ Langevin equation // Encyclopedia of Mathematics.
↑ ^11,0 ^11,1 Jean Baptiste Perrin - Facts // NobelPrize.org.
↑ ^12,0 ^12,1 Jean Baptiste Perrin - Nobel Lecture.
↑ ^13,0 ^13,1 Wiener process // Encyclopedia of Mathematics.
↑ A. N. Kolmogorov. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. 1931. Bd. 104. S. 415-458.

Brown R. A brief account of microscopical observations made on the particles contained in the pollen of plants. 1828.
Einstein A. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen // Annalen der Physik. 1905. Bd. 17. S. 549-560.
Smoluchowski M. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen // Annalen der Physik. 1906. Bd. 21. S. 756-780.
Langevin P. Sur la théorie du mouvement brownien // Comptes rendus de l’Académie des sciences. 1908. T. 146. P. 530-533.
Perrin J. Mouvement brownien et réalité moléculaire // Annales de Chimie et de Physique. 1909. T. 18. P. 5-114.
Wiener N. Differential-Space // Journal of Mathematics and Physics. 1923. Vol. 2. P. 132-174.
Kolmogoroff A. N. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. 1931. Bd. 104. S. 415-458.

[EOMBrown-1] 1,0 ^1,1 Brownian motion // Encyclopedia of Mathematics.

[EOMWiener-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Wiener measure // Encyclopedia of Mathematics.

[Brown1828-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Robert Brown. A brief account of microscopical observations made on the particles contained in the pollen of plants. 1828.

[Einstein1905-4] Albert Einstein. On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. Annalen der Physik, 1905.

[Einstein1905pdf-5] Albert Einstein. Investigations on the Theory of the Brownian Movement.

[Smol1906-6] Marian von Smoluchowski. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen // Annalen der Physik. 1906.

[MacSmol-7] Marian Smoluchowski // MacTutor History of Mathematics.

[SmolTrans-8] On the Kinetic Theory of the Brownian Molecular Motion and of Suspensions.

[Langevin1908-9] Paul Langevin. On the Theory of Brownian Motion. 1908.

[EOMLangevin-10] Langevin equation // Encyclopedia of Mathematics.

[NobelPerrin-11] 11,0 ^11,1 Jean Baptiste Perrin - Facts // NobelPrize.org.

[PerrinLecture-12] 12,0 ^12,1 Jean Baptiste Perrin - Nobel Lecture.

[EOMWienerProcess-13] 13,0 ^13,1 Wiener process // Encyclopedia of Mathematics.

[Kolmogorov1931-14] A. N. Kolmogorov. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. 1931. Bd. 104. S. 415-458.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]