Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова

Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова

Зависимость испытаний и нормальное приближение распределения их суммы. Современная учебная модель цепи с двумя состояниями, поясняющая тематику работ Маркова.

Два исследования Андрея Маркова, распространившие вероятностные предельные закономерности на зависимые испытания и положившие начало теории марковских цепей.

Область

Теория вероятностей

Период

1906–1907 годы

Разновидность

История математических исследований

«Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова» - история двух исследований Андрея Андреевича Маркова, которые стали одним из поворотных пунктов в развитии теории вероятностей. В 1906 году Марков опубликовал работу «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга», а в 1907 году - «Исследование замечательного случая зависимых испытаний». В этих статьях случайная зависимость впервые стала не помехой, которую старались исключить, а самостоятельным объектом строгого математического исследования.

Эти две работы часто объединяют одной формулой: «Марков придумал цепи Маркова в 1906 или 1907 году». Исторически точнее видеть между ними развитие. Encyclopedia of Mathematics отмечает, что конструкции, позднее названные цепями Маркова, впервые появляются в его казанской работе 1906 года, тогда как систематическое исследование последовательностей зависимых испытаний начинается в 1907 году.

Именно здесь теория вероятностей сделала принципиальный шаг от мира независимых повторений к миру случайных процессов, в которых события связаны друг с другом, но сама зависимость подчиняется строгому закону.

Андрей Андреевич Марков. Фотография 1886 года.

Почему 1906-1907 годы стали переломными

К началу XX века теория вероятностей уже обладала мощным аппаратом для независимых испытаний. Классическая схема, восходившая к Якобу Бернулли, позволяла объяснить, почему при большом числе повторений относительные частоты становятся устойчивыми. В XIX веке эту линию развивали Пуассон, Бьенэме, Чебышёв и другие математики.

Но реальный мир редко состоит из полностью независимых событий. Погода сегодняшнего дня связана со вчерашней, состояние физической системы зависит от предшествующего состояния, последовательность букв языка подчиняется грамматическим и фонетическим ограничениям. Если теория вероятностей хотела стать математикой процессов, ей необходимо было научиться работать не только с независимостью, но и с зависимостью.

Марков пришёл к этой проблеме через конкретный спор о законе больших чисел. Московский математик Павел Некрасов утверждал, что попарная независимость случайных слагаемых является необходимым условием слабого закона больших чисел. Марков решил показать, что это не так.

Результатом стало не просто исправление чужого утверждения. Чтобы построить убедительный контрпример, Маркову пришлось создать язык для описания упорядоченной зависимости между случайными величинами.

От Бернулли к Чебышёву

Якоб Бернулли. Его исследования повторных испытаний стали одним из исходных пунктов закона больших чисел.

Одна из главных линий, ведущих к Маркову, начиналась с Якоба Бернулли. Его Ars Conjectandi, опубликованная в 1713 году, содержала классический результат о стабилизации относительных частот при большом числе независимых повторений.

Страница Ars Conjectandi, издание 1713 года.

В XIX веке этот круг идей был значительно расширен. Особенно важную роль сыграл Пафнутий Львович Чебышёв. Он стремился получать предельные теоремы при возможно более слабых предположениях и создал методы, позволявшие строго контролировать отклонения случайных величин от их средних значений.

Пафнутий Львович Чебышёв - учитель Маркова и центральная фигура Петербургской школы теории вероятностей.

Чебышёв сформировал вокруг себя сильную петербургскую математическую школу. Среди его наиболее известных учеников были Марков и Александр Ляпунов. Оба работали над предельными теоремами вероятности, но двигались в разных направлениях: Ляпунов развивал центральную предельную теорему, Марков всё настойчивее исследовал границы закона больших чисел и влияние зависимости.

После ухода Чебышёва из Петербургского университета в 1883 году Марков принял чтение его курса теории вероятностей. Поэтому работы 1906-1907 годов были не неожиданным отходом от прежней традиции, а её радикальным продолжением.

Научный стиль Петербургской школы

Для понимания исторического значения цепей важно учитывать научный стиль Петербургской школы. Чебышёв и его ученики стремились не просто получить красивую формулу, а выяснить, какие условия теоремы действительно необходимы. Если классический результат требовал независимости, естественно было спросить, можно ли ослабить это условие; если требовалось одинаковое распределение величин - можно ли допустить различия. Такой способ постановки вопросов постепенно расширял территорию теории вероятностей.

Марков довёл этот подход до особенно важного рубежа: он попытался отказаться от одного из самых привычных оснований классической вероятности - независимости.

Московский спор: Павел Некрасов

Непосредственным историческим контекстом работ Маркова стала полемика с московским математиком Павлом Алексеевичем Некрасовым. Некрасов был профессором, ректором Московского университета и президентом Московского математического общества. Он занимался теорией вероятностей и одновременно пытался связывать её с философией массового поведения, социальной статистикой и вопросом о свободе воли.

Императорский Московский университет на Моховой улице. Фотография, опубликованная в 1912 году.

В 1902 году Некрасов сформулировал положение, согласно которому попарная независимость случайных слагаемых необходима для слабого закона больших чисел. Для его более широкой концепции это имело дополнительный смысл: независимость связывалась с индивидуальной свободой, тогда как устойчивость массовых статистических показателей объяснялась действием закона больших чисел.

Маркова интересовало прежде всего математическое утверждение. Если независимость действительно необходима, зависимая последовательность должна разрушать закон больших чисел; если удастся построить зависимую систему, в которой закон сохраняется, тезис будет опровергнут. Именно это стало одним из непосредственных стимулов его работы.

Почему спор оказался продуктивным

В истории науки особенно интересны ситуации, когда ошибочное или чрезмерно сильное утверждение заставляет другого исследователя создать более общую теорию. Спор Маркова и Некрасова относится именно к таким случаям. Марков мог ограничиться частным контрпримером, но вместо этого построил класс зависимых последовательностей и начал систематически исследовать их поведение.

В результате возник математический объект, значение которого оказалось несравнимо шире исходной полемики. Современная цепь Маркова не имеет отношения ни к богословию, ни к свободе воли, но один из исторических путей к ней действительно прошёл через спор о том, можно ли связать независимость случайных событий с независимостью человеческих поступков.

1906 год: казанская публикация

В 1906 году Марков опубликовал статью «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга» в «Известиях физико-математического общества при Императорском Казанском университете». Работа вышла во второй серии, том 15, на страницах 135-156.

Эта публикация важна сразу в нескольких отношениях. Марков доказал, что закон больших чисел может сохраняться для зависимых случайных величин; в работе появилась цепная организация зависимости - тот механизм, который позднее будет назван цепью Маркова; наконец, зависимость стала рассматриваться количественно: необходимо было не просто установить, что два события связаны, а измерить, как влияние одного состояния передаётся дальше по последовательности и как быстро оно ослабевает.

Encyclopedia of Mathematics именно с этой работой связывает первое появление у Маркова конструкций, которые позднее получили его имя.

Почему работа вышла в Казани

История цепей Маркова напоминает, что российская математика начала XX века не сводилась к двум столицам. Марков поддерживал отношения с Александром Васильевичем Васильевым - профессором Казанского университета, также связанным с научной традицией Чебышёва. Несколько работ Маркова по теории вероятностей выходили в изданиях Казанского физико-математического общества.

Казанское общество было заметной научной площадкой Российской империи. Через университетские общества статьи циркулировали между локальными научными центрами задолго до современной системы международных журналов. Работа 1906 года поэтому интересна и как эпизод институциональной истории русской науки: фундаментальный результат, позже вошедший в мировую математику, впервые появился не в столичном академическом журнале, а в издании университетского научного общества.

Что именно изменилось в 1906 году

До Маркова зависимость часто воспринималась как усложнение, нарушающее удобную схему независимых повторений. Работа 1906 года показала, что зависимость можно сделать частью самой модели.

Для простейшего случая можно представить систему с двумя состояниями - А и Б. Вероятность следующего состояния зависит от того, где система находится сейчас.

Текущее состояние	Следующее А	Следующее Б
А	p	1-p
Б	q	1-q

Сегодня такую таблицу называют матрицей переходов. Марков использовал другой язык и обозначения, поэтому не следует переносить современную терминологию на его статью буквально. Однако историческая новизна уже видна: вероятность становится правилом перехода между состояниями. Это уже не просто таблица исходов одного опыта - это правило случайной эволюции.

Цепная зависимость как новая идея

Ключевая особенность схемы Маркова состояла в локальном характере связи. События не были независимыми, но и не зависели произвольным образом сразу от всей предыдущей истории. Зависимость передавалась от звена к звену - отсюда и образ цепи.

Каждое новое состояние связано с предыдущим; через эту связь влияние прошлого передаётся дальше. Такой способ организации зависимости оказался исключительно плодотворным: достаточно простым для строгого анализа и достаточно сложным, чтобы описывать процессы, недоступные модели независимых испытаний.

Закон больших чисел без независимости

Главным результатом 1906 года было не само существование цепной схемы, а доказательство статистической устойчивости внутри неё. Марков показал, что при определённых условиях средние значения длинной зависимой последовательности ведут себя устойчиво, как и в классических независимых моделях.

Это разрушало представление о независимости как обязательной основе закона больших чисел. В историческом плане здесь проходит один из ключевых рубежей между классической вероятностью и теорией случайных процессов: случайные события могли быть связаны - и всё же порождать устойчивую массовую закономерность.

Ослабление памяти

Чтобы такая теория работала, зависимость не должна сохранять одинаковую силу на любом расстоянии. Если первое состояние полностью определяет тысячное, усреднение может вести себя совсем иначе. Марков исследовал случаи, в которых влияние удалённых состояний постепенно ослабевало.

Современным языком здесь появляются идеи, связанные с перемешиванием и эргодичностью. В самой работе 1906 года Марков использовал количественные оценки того, насколько переход сокращает различие между вероятностными распределениями. Юджин Сенета позднее показал, что эти рассуждения предвосхищали теорию коэффициентов эргодичности стохастических матриц.

Исторически это особенно важно: вместе с новым объектом Марков фактически создавал и инструмент для измерения того, как система постепенно теряет память о начальном состоянии.

1906 год как рождение механизма

Если искать первую дату появления цепей Маркова, 1906 год имеет сильные основания. В статье уже присутствуют последовательность зависимых случайных величин, переходные вероятности, цепная структура зависимости, количественная оценка ослабления влияния и закон больших чисел для такой системы.

Но сам Марков ещё не ставил задачу создать универсальную теорию случайных процессов. Цепь возникла как средство решить конкретную проблему предельной теории. Поэтому 1906 год лучше понимать как рождение математического механизма.

1907 год: зависимые испытания становятся самостоятельным предметом

В следующем году Марков опубликовал «Исследование замечательного случая зависимых испытаний» в «Известиях Императорской Академии наук». Французское библиографическое название работы - Recherches sur un cas remarquable d'épreuves dépendantes. Статья вышла в VI серии, том 1, № 3, на страницах 61-80.

Здесь меняется сама постановка. В 1906 году центральной темой был закон больших чисел; в 1907 году в заголовок вынесены зависимые испытания как таковые. Это важный исторический признак: объект начинает отделяться от задачи, ради которой первоначально был создан.

Encyclopedia of Mathematics поэтому называет именно 1907 год началом систематического исследования последовательностей зависимых испытаний и возникновения теории цепей Маркова.

1906 или 1907?

Разные справочники и историки могут указывать разные даты рождения цепей Маркова, но противоречия здесь нет.

1906	1907
Цепная зависимость появляется как средство распространить закон больших чисел.	Зависимые испытания становятся самостоятельным предметом систематического исследования.
Главный вопрос: сохраняется ли статистическая устойчивость без независимости?	Главный вопрос: как устроена сама последовательность зависимых испытаний?
Появляется математический механизм будущей цепи Маркова.	Начинается собственно теория цепей.

Исторически точнее говорить о двухлетнем рождении новой теории: 1906 год дал фундаментальный контрпример и механизм, 1907 год сделал механизм самостоятельным объектом.

Почему 1907 год не был просто продолжением

В истории науки существует важный момент, когда метод, созданный для одной задачи, начинает жить собственной жизнью. С цепями Маркова это произошло очень быстро. Как только зависимая последовательность была выделена как отдельный объект, возникли новые вопросы: как меняются вероятности после нескольких шагов, насколько далёкое состояние зависит от начального, какие цепи забывают начало и какие предельные распределения возникают.

Эти вопросы уже не сводились к исходному спору с Некрасовым. В 1907 году полемический инструмент начал превращаться в самостоятельную исследовательскую программу.

От величин к процессу

В названии статьи 1906 года речь шла о величинах, в 1907 году - об испытаниях. За этой терминологической разницей скрывается более широкий исторический сдвиг.

Классическая вероятность часто рассматривала набор случайных величин как совокупность объектов. Цепь заставляла видеть порядок: первый шаг ведёт ко второму, второй - к третьему, третий - к четвёртому. Вероятность становится характеристикой изменения во времени или по номеру шага.

Это ещё не современная теория стохастических процессов, но направление уже задано.

Петербург и Академия наук

Публикация 1907 года вышла уже в «Известиях Императорской Академии наук». Марков к этому времени был ординарным академиком и одной из главных фигур русской математики.

Переход от казанского университетского издания к академическому журналу символически совпал с переходом самой идеи от специального контрпримера к самостоятельной исследовательской теме. Две площадки показывают разные стороны научной инфраструктуры эпохи: университетские общества поддерживали специализированные исследования, Академия наук давала им более широкий институциональный масштаб.

Что было новым для истории случайности

Самое глубокое значение работ Маркова состояло в новом понимании случайности. В классической интуиции случайность легко связывалась с отсутствием связи: если результаты связаны, кажется, будто случайность уменьшается.

Марков показал, что эта интуиция слишком примитивна. Система может быть случайной и одновременно обладать памятью. Следующий шаг может зависеть от текущего состояния и всё же оставаться вероятностным. Так появилась возможность строго описывать структурированную случайность - идею, которая станет основой огромного числа моделей XX века.

Связь не равна предопределённости

Работы Маркова были важны и потому, что разрушали ещё одну скрытую противоположность: «либо независимость, либо детерминизм». Цепная модель показывает третий вариант: будущее связано с настоящим, но не определено им однозначно.

Состояние А может сделать переход в Б более вероятным, но не обязательным. Такой тип описания чрезвычайно близок к реальным процессам, где прошлое влияет на будущее, не делая его полностью предсказуемым. Для истории вероятностного мышления это один из главных концептуальных шагов начала XX века.

После 1907 года: теория быстро расширяется

Марков продолжал работать с зависимыми последовательностями. В 1908 году он исследовал отдельные случаи предельных теорем вероятности и математического ожидания, а в 1911 году появились работы о связанных величинах, «не образующих настоящей цепи», и о многократной цепи.

Само выражение «не образующих настоящей цепи» показывает, что к этому времени понятие уже стало достаточно определённым, чтобы служить эталоном для сравнения. В 1912 году Марков исследовал случай, где некоторые события цепи оставались без наблюдения, и опубликовал прямой «Ответ г. Некрасову».

За несколько лет из одного контрпримера вырос целый набор новых задач.

1913 год: Пушкин как экспериментальный материал

Наиболее известное раннее применение появилось в 1913 году. Марков взял 20 000 букв «Евгения Онегина», разделил их на гласные и согласные и подсчитал вероятности переходов между этими двумя типами.

Если бы буквы были независимыми, вероятность гласной не зависела бы от предыдущего типа. Реальный текст показал сильную зависимость. Так теория, выросшая из абстрактной проблемы закона больших чисел, получила наглядное применение к реальной последовательности.

Подробно этот эпизод рассматривается в статье Марков и «Евгений Онегин». Исторически опыт важен тем, что теория зависимых испытаний была применена к большому реальному массиву данных: зависимость не делала объект нематематическим, её можно было измерять.

От Маркова к Колмогорову

Сам Марков не построил общую теорию всех случайных процессов. Эта работа продолжилась уже в следующем поколении.

В 1920-1930-е годы Норберт Винер исследовал математическую модель броуновского движения, а Андрей Колмогоров создал общую аналитическую теорию марковских процессов и в 1933 году дал аксиоматическую основу современной теории вероятностей.

Линия преемственности здесь принципиальна: Марков показал, что зависимая случайная система может быть строгим математическим объектом, а Колмогоров сделал такие системы частью общей вероятностной теории. В результате цепи Маркова оказались одним из мостов между дореволюционной Петербургской школой и советской математикой мирового уровня.

Международное распространение идеи

Работы Маркова не сразу получили за пределами России то место, которое имеют сегодня. Теория зависимых последовательностей распространялась постепенно через публикации, обзоры, контакты математиков и развитие общей стохастики.

Историк Дэвид Линк подробно исследовал передачу марковских идей в Западную Европу и показал, что этот процесс был длительным: терминология и формы изложения менялись, а значение исходных русских работ стало особенно очевидно уже в контексте более поздней теории случайных процессов.

Современная известность имени Маркова создаёт впечатление, будто теория сразу вошла в международный канон. В действительности признание было постепенным.

От вероятности к информации

В середине XX века марковские модели получили новое значение в теории информации. Клод Шеннон рассматривал источники сообщений, в которых вероятность следующего символа зависела от предыдущих состояний.

Так идея, возникшая из предельной теоремы и полемики о независимости, оказалась применима к языку и передаче информации. Связь с опытом Маркова над «Евгением Онегиным» особенно заметна: Марков шёл от текста к статистическим зависимостям, Шеннон показывал, как статистические зависимости могут порождать текстоподобные последовательности.

Это не была простая прямая передача одной конкретной модели, но оба этапа принадлежат общей истории количественного исследования последовательностей.

Почему эти работы важны для истории науки

Историческое значение 1906-1907 годов можно увидеть сразу на нескольких уровнях. Изменилась граница теории вероятностей: зависимость перестала автоматически означать выход за пределы удобной математической теории. Возник новый тип объекта - случайная система, изменяющая состояние шаг за шагом. Теория вероятностей начала приближаться к языку процессов, который станет центральным для физики, биологии, экономики и вычислительной техники XX века.

Не менее важен российский контекст. Конкретный спор между московским и петербургским математиками породил результат международного значения; в его публикации участвовали Казанское физико-математическое общество и Императорская Академия наук. История показывает, как взаимодействовали Петербург, Москва и Казань, а философски нагруженная дискуссия о независимости в итоге породила строгую теорию, полностью отделившуюся от исходного мировоззренческого спора.

Не «формула Маркова», а изменение способа мышления

Цепи Маркова иногда воспринимаются как частная техника: есть матрица переходов, её нужно возвести в степень и получить вероятность состояния через несколько шагов. Такое учебное представление скрывает исторический масштаб.

Главное открытие состояло не в конкретной матрице, а в признании того, что случайная зависимость может быть структурой. Можно исследовать не только распределение отдельных величин, но и правила перехода между состояниями; спрашивать, как быстро система забывает начало; искать устойчивое распределение; описывать долговременное поведение без точного знания каждой траектории.

Из этого способа мышления вырос огромный пласт математики XX века.

Почему Марков оказался в нужной научной точке

Для такого шага потребовалось соединение нескольких обстоятельств. Петербургская школа дала технику предельных теорем, Чебышёв сформировал традицию ослабления условий, полемика с Некрасовым дала конкретный тезис, который хотелось опровергнуть, Казанское общество предоставило площадку для первой публикации, а Академия наук - для дальнейшего развития темы.

Сам Марков обладал характерным научным темпераментом: любил точные формулировки, резко спорил с утверждениями, которые считал неверными, и предпочитал отвечать не риторикой, а доказательством. Всё это сошлось в 1906-1907 годах.

Историческая хронология

Год	Событие
1713	Выходит Ars Conjectandi Якоба Бернулли.
1860-1870-е	Чебышёв развивает строгие методы закона больших чисел и предельных теорем.
1874	Марков поступает в Петербургский университет.
1883	После ухода Чебышёва Марков принимает чтение его курса теории вероятностей.
1890-е	Марков и Ляпунов продолжают развитие петербургской школы вероятности.
1902	Павел Некрасов связывает статистическую регулярность с необходимостью независимости и более широкой философской проблемой свободной воли.
1906	Марков публикует в Казани «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга».
1907	В «Известиях Императорской Академии наук» выходит «Исследование замечательного случая зависимых испытаний».
1908	Продолжаются исследования предельных теорем для связанных величин.
1911	Марков исследует системы, не образующие «настоящей цепи», и многократные цепи.
1912	Выходят работа о цепи с оставленными без наблюдения событиями и «Ответ г. Некрасову».
1913	Марков применяет цепную модель к 20 000 буквам «Евгения Онегина».
1920-1930-е	Марковские идеи входят в формирующуюся общую теорию случайных процессов.
1931	Колмогоров публикует фундаментальную работу об аналитических методах теории вероятностей и марковских процессах.
1948	Шеннон применяет вероятностные модели последовательностей в теории информации.
Вторая половина XX века	Марковские модели становятся стандартным инструментом науки и вычислительной техники.

Наследие

Сегодня цепи Маркова используются в физике, химии, биологии, теории массового обслуживания, финансах, лингвистике, распознавании речи, машинном обучении и анализе сетей. Но исторический смысл первых работ не исчерпывается количеством позднейших применений.

Их важность в том, что Марков изменил язык вероятности. Случайность перестала быть моделью мира, где события не связаны. Она стала моделью мира, где прошлое может влиять на будущее, но это влияние само поддаётся измерению.

Работа 1906 года показала, что зависимость совместима с законом больших чисел, а работа 1907 года превратила зависимую последовательность в самостоятельный объект. Вместе они образуют один из наиболее ясных моментов рождения современной теории случайных процессов.

См. также

• Цепи Маркова
• Андрей Андреевич Марков
• Павел Некрасов и спор о свободе воли в математике
• Марков и «Евгений Онегин»
• Петербургская школа теории вероятностей
• Закон больших чисел
• Марковское свойство
• Стационарное распределение
• Случайный процесс

Источники и литература

• Марков А. А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга // Известия физико-математического общества при Казанском университете. 2-я серия. 1906. Т. 15. С. 135-156.
• Марков А. А. Исследование замечательного случая зависимых испытаний // Известия Императорской Академии наук. VI серия. 1907. Т. 1. № 3. С. 61-80.
• Марков А. А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. Ленинград: Издательство АН СССР, 1951.
• Seneta E. Markov and the Birth of Chain Dependence Theory // International Statistical Review. 1996. Vol. 64. № 3. P. 255-263.
• Seneta E. Statistical Regularity and Free Will: L. A. J. Quetelet and P. A. Nekrasov // International Statistical Review. 2003. Vol. 71. № 2. P. 319-334.
• Sheynin O. B. A. A. Markov's Work on Probability // Archive for History of Exact Sciences. 1989. Vol. 39. P. 337-377.
• Basharin G. P., Langville A. N., Naumov V. A. The Life and Work of A. A. Markov // Linear Algebra and its Applications. 2004. Vol. 386. P. 3-26.
• Link D. Chains to the West: Markov's Theory of Connected Events and Its Transmission to Western Europe // Science in Context. 2006. Vol. 19. № 4. P. 561-589.