Петербургская школа теории вероятностей

Петербургская школа теории вероятностей

Пафнутий Львович Чебышёв, основатель петербургской математической школы.

Период

вторая половина XIX — начало XX века

Петербургская школа теории вероятностей — научная традиция второй половины XIX — начала XX века, сложившаяся вокруг Пафнутия Чебышёва и продолженная прежде всего Андреем Марковым и Александром Ляпуновым. Её центрами были Петербургский университет и Академия наук, а связи с Казанью, Харьковом и другими научными центрами выходили за пределы одного города. Школа составляла вероятностное направление более широкой петербургской математической традиции.

Её главными задачами стали строгие условия устойчивости средних и предельного распределения сумм случайных величин. Чебышёв развивал общие неравенства и метод моментов; Марков уточнял доказательства и исследовал зависимые испытания; Ляпунов получил центральную предельную теорему при широких достаточных условиях, используя характеристические функции. Эти результаты отвечали на разные вопросы: почему среднее стабилизируется и как распределены отклонения от него.

Преемственность поддерживалась преподаванием, передачей исследовательских задач, научными обществами, публикациями и перепиской. Изучение цепной зависимости и общение Маркова со статистиком Александром Чупровым связывали предельную теорию с анализом наблюдений. В XX веке задачи и методы школы получили продолжение в математической статистике и теории случайных процессов, уже в новых научных коллективах и на иной аксиоматической основе.

Границы школы и характер научной преемственности

Термин «Петербургская школа» используется шире, чем только для теории вероятностей. Чебышёв сформировал большое математическое направление, в которое входили исследователи теории чисел, анализа, механики, приближений и других областей. К школе относили Александра Коркина, Егора Золотарёва, Андрея Маркова, Александра Ляпунова, Константина Поссе, Георгия Вороного, Владимира Стеклова, Александра Крылова и других математиков.

В этой статье речь идёт о вероятностном направлении школы. Оно было связано с общей исследовательской средой, но не охватывало всех работ перечисленных математиков.

Эта линия не была замкнута в одном городе. Марков публиковался в Казани, переписывался с Александром Васильевым, а позднее активно общался со статистиком Александром Чупровым. Тем не менее университет и Академия наук в Петербурге оставались институциональным центром школы.

Петербургскую школу нельзя сводить к вероятности. Чебышёв работал в теории чисел, механике и приближении функций. Ляпунов создал теорию устойчивости. Стеклов стал крупным специалистом по математической физике. Крылов внёс фундаментальный вклад в прикладную математику и кораблестроение. Георгий Вороной известен работами по теории чисел и геометрии. Эти занятия объясняют широту круга школы, но принадлежность к нему сама по себе не означает вклада в теорию вероятностей.

Петербургская школа не имела формального устава и не представляла собой организацию в современном смысле. Её объединяли научная преемственность и стиль. Можно выделить несколько характерных черт:

• стремление получать строгие количественные оценки;
• интерес к предельным закономерностям;
• внимание к минимальным условиям теорем;
• связь чистой математики с механикой и реальными задачами;
• активная передача исследовательских проблем от учителя к ученикам;
• институциональная опора на университет и Академию наук.

Название школы обозначает научную преемственность, а не отдельное учебное заведение с фиксированным составом участников.

Территориальное название также не следует понимать буквально. Ляпунов работал в Харькове в 1885–1902 годах, а затем вернулся в Петербург; его вероятностные исследования 1900–1901 годов относятся к харьковскому периоду. Связь с учителем, постановка задач и методы важнее непрерывного пребывания исследователя в одном учреждении.

Предпосылки и становление

Вероятность в России до Чебышёва

Теория вероятностей пришла в Россию задолго до Чебышёва. В XVIII веке в Петербурге работали математики, связанные с Академией наук, включая представителей семьи Бернулли и Леонарда Эйлера. В XIX веке вероятностные и статистические вопросы развивал Виктор Яковлевич Буняковский.

Буняковский преподавал вероятность и занимался её приложениями к демографии и страхованию. Encyclopedia of Mathematics связывает с его работами 1840-х годов развитие первых методов математической статистики в России.

Вероятностная программа Чебышёва выросла из этой традиции, а также из европейских исследований Бернулли, Лапласа и Бьенэме. Поэтому её возникновение не было началом изучения вероятности в России с нуля.

В 1846 году Буняковский издал «Основания математической теории вероятностей». Книга делала доступнее идеи аналитической теории Лапласа и участвовала в формировании русской вероятностной терминологии. Такое сочетание перевода научного языка, преподавания и приложений подготовило среду, в которой позднее работал Чебышёв.

Чебышёв: московское образование и петербургская работа

Чебышёв родился в 1821 году и получил первоначальное высшее математическое образование в Московском университете. Большое влияние на него оказал Николай Брашман, преподававший механику, анализ и исчисление вероятностей. Сам Чебышёв позднее подчёркивал значение этих занятий для формирования своих интересов.

После переезда в Петербург его научная карьера оказалась связана с университетом и Академией наук. С 1860-х годов Чебышёв регулярно читал курс теории вероятностей и постепенно превратил эту область в важную часть своей исследовательской программы.

Якоб Бернулли. Его закон больших чисел стал одной из отправных точек для исследований Чебышёва и Маркова.

Университет, Академия наук и научная сеть

Во второй половине XIX века Петербургский университет стал одним из главных центров математической подготовки в Российской империи. Чебышёв преподавал здесь рядом с Александром Коркиным, Егором Золотарёвым и другими сильными математиками.

Марков поступил в университет в 1874 году. Он посещал занятия Коркина, Золотарёва и Чебышёва и уже студентом включился в исследовательскую работу. После окончания курса в 1878 году его оставили при университете для подготовки к академической деятельности.

Ляпунов поступил на физико-математический факультет в 1876 году и также испытал сильное влияние Чебышёва. В университете Марков и Ляпунов были современниками и принадлежали к одному научному кругу.

Александр Михайлович Ляпунов — ученик Чебышёва и один из главных представителей петербургской вероятностной школы.

Вторым важнейшим институтом была Петербургская Академия наук.

Чебышёв был академиком, Марков вошёл в Академию в 1886 году и стал ординарным академиком в 1896 году. Ляпунов был избран членом Академии в начале XX века и после возвращения в Петербург сосредоточился на научной работе.

Академия давала школе институциональную преемственность, публикационные возможности и связь с другими областями российской науки.

Именно в академическом издании в 1907 году вышла одна из ключевых работ Маркова о зависимых испытаниях, а в 1913 году — его знаменитое статистическое исследование «Евгения Онегина».

Петербургская школа не была географически изолирована. Александр Васильевич Васильев, ученик Чебышёва и профессор Казанского университета, поддерживал научные контакты с Марковым.

Encyclopedia of Mathematics отмечает, что несколько важных вероятностных работ Маркова, включая статью 1906 года, в которой Марков формулирует схему цепной зависимости, были опубликованы в «Известиях физико-математического общества при Казанском университете».

Это показывает, что школа была не только группой людей в одном здании. Она существовала как сеть учеников, корреспондентов и научных обществ внутри Российской империи.

Математическая жизнь Российской империи конца XIX века строилась не только вокруг университетских кафедр. Большую роль играли научные общества, журналы и академические серии. Петербургская математическая традиция была связана с Академией наук, университетом, а через учеников Чебышёва — с Казанским физико-математическим обществом и другими центрами. Статьи Маркова 1906 и 1907 годов вышли в разных сериях — казанской и петербургской академической. Связь между этими публикациями позволяет проследить развитие одной программы за пределами университетской кафедры.

Исследовательская программа Чебышёва

Закон больших чисел и строгие оценки

Одной из центральных задач была проблема статистической устойчивости. Якоб Бернулли ещё в начале XVIII века показал, что при большом числе независимых повторений относительная частота события становится близкой к его вероятности.

Страница Ars Conjectandi Якоба Бернулли, 1713 год.

Чебышёв развил эту линию при помощи общей теории случайных величин. В 1867 году он опубликовал работу «О средних величинах», в которой использовал неравенство Бьенэме и получил обобщённую форму закона больших чисел. Сегодня соответствующее неравенство широко известно как неравенство Бьенэме — Чебышёва.

Историческое значение этого шага состояло в том, что устойчивость средних теперь выводилась не из особой симметричной схемы бросков или урн, а из общих оценок случайных величин.

Вместо точного ответа на вопрос «какова вероятность отклонения?» Чебышёв искал гарантированную верхнюю оценку.

Оценка не требует заранее знать точную форму распределения. Неравенство работает для широкого класса распределений, даже когда их точный вид неизвестен. Эта традиция строгих оценок оказалась чрезвычайно важной для всей последующей вероятности.

Смысл неравенства Бьенэме — Чебышёва состоит в связи между разбросом величины и вероятностью большого отклонения от среднего. Если среднее и дисперсия существуют, вероятность отклонения не меньше заданного порога ограничена сверху отношением дисперсии к квадрату этого порога. Это верхняя граница, а не точное значение вероятности. Чтобы получить закон больших чисел, такую оценку применяют к среднему многих величин и проверяют, стремится ли его дисперсия к нулю.

Условие здесь существенно. Само по себе увеличение числа наблюдений не гарантирует устойчивости среднего при любой зависимости между ними. Исследователь должен показать, как ведёт себя разброс всей суммы. Именно вопрос об условиях, достаточных для такого контроля, связывал неравенства Чебышёва с будущими работами Маркова о зависимых испытаниях.

Преподавание и передача задач

Чебышёв стремился получать результаты, действующие при возможно меньшем числе предположений. Для его школы было характерно не столько стремление к максимально общему абстрактному языку, сколько поиск точных оценок и условий применимости теорем.

Александр Ляпунов, слушавший лекции Чебышёва в Петербургском университете, вспоминал, что его курсы были сравнительно короткими, но насыщенными замечаниями о значении задач и методах исследования. По словам Ляпунова, Чебышёв учил «более широким взглядам и необычным точкам зрения».

Такой стиль преподавания имел прямое научное следствие. Ученики не просто усваивали готовую теорию, а получали незакрытые проблемы и способы постановки новых вопросов.

Важнейшей особенностью школы была практика передачи задач от учителя к ученикам. Чебышёв регулярно формулировал проблемы, которые затем становились самостоятельными направлениями работ его студентов.

Для Ляпунова одна из таких задач была связана с фигурами равновесия вращающейся жидкости и в итоге привела к исследованиям устойчивости, сделавшим его имя знаменитым далеко за пределами вероятности.

В теории вероятностей ученики продолжали другую линию Чебышёва — предельные теоремы. Марков развивал закон больших чисел и метод моментов, Ляпунов сосредоточился на центральной предельной теореме и характеристических функциях.

Таким образом, школа не копировала одну тему. Она воспроизводила способ исследования.

Метод моментов и предельная проблема

Одним из характерных инструментов школы стал метод моментов.

Моменты — средние степеней случайной величины либо её отклонения от среднего; среди них математическое ожидание и дисперсия. Они описывают отдельные свойства распределения, не выписывая его целиком.

Чебышёв использовал моменты для доказательства предельных результатов. Марков развивал этот подход и сделал его одним из классических методов вероятности.

Исторически метод моментов важен потому, что показывает стиль школы: вместо попытки выписать точное распределение сложной суммы исследователь мог контролировать набор количественных характеристик и через них доказывать предельное поведение.

В 1887 году Чебышёв опубликовал работу «О двух теоремах относительно вероятностей». Она содержала подход к центральной предельной теореме для независимых, но не обязательно одинаково распределённых случайных величин.

Encyclopedia of Mathematics называет эту работу его последним крупным достижением в вероятности и подчёркивает, что результат был быстро подхвачен Марковым и Ляпуновым.

Доказательство Чебышёва оставляло пробелы; Марков продолжил работу методом моментов и уточнил условия теоремы. Поэтому преемственность состояла также в проверке и исправлении доказательства учителя.

Предельные теоремы Маркова и Ляпунова

Марков и Ляпунов работали над общей предельной проблематикой, хотя использовали разные средства. Марков сохранял и развивал метод моментов; Ляпунов применял характеристические функции. Исследование независимых сумм было важной частью работы обоих учёных; последующий переход Маркова к цепной зависимости дополнил эту линию, а не отменил её.

Различие основных задач можно выразить без технических формул:

Задача	Что требуется установить	Чего из результата не следует
Закон больших чисел	При каких условиях среднее многих величин становится близким к определённому значению.	Что отдельное наблюдение предсказуемо или что любые зависимые данные дают устойчивое среднее.
Центральная предельная теорема	При каких условиях нормированные отклонения суммы приближаются к нормальному распределению.	Что исходные величины сами распределены нормально или что нормальная аппроксимация точна при любом конечном числе слагаемых.

Эти задачи связаны, но требуют разных условий и доказательств. В исторической оценке школы существенны именно формулировки границ применимости, а не только названия теорем.

Марков как продолжатель программы Чебышёва

Андрей Марков оказался, по оценке Encyclopedia of Mathematics, наиболее близким продолжателем идей Чебышёва в вероятности.

После ухода Чебышёва из университета в 1883 году Марков принял чтение его курса теории вероятностей и продолжал преподавать его ежегодно. В 1886 году по предложению Чебышёва он был избран адъюнктом Петербургской Академии наук, а в 1896 году стал ординарным академиком.

Андрей Андреевич Марков — ученик Чебышёва, продолживший его программу в теории вероятностей.

Марков развивал закон больших чисел, предельные теоремы, метод моментов и метод наименьших квадратов. Его работы отличались стремлением явно установить, какое условие действительно необходимо для теоремы.

Именно эта установка привела его в 1906 году к зависимым случайным величинам и затем к цепям Маркова.

Ляпунов и нормальное предельное распределение

Александр Ляпунов вошёл в историю прежде всего как создатель современной теории устойчивости динамических систем, однако его вклад в вероятность также был фундаментальным.

В 1901 году он дал строгий вариант центральной предельной теоремы при достаточно общих условиях. Encyclopedia of Mathematics характеризует теорему Ляпунова как завершающий этап исследований Чебышёва, Маркова и Ляпунова об условиях применимости центральной предельной теоремы.

Особое значение имел метод характеристических функций. Он оказался одним из наиболее мощных инструментов дальнейшей теории предельных распределений.

Результат имел значение и для приложений. Нормальное распределение широко использовалось в астрономии, геодезии и теории ошибок, но требовалось понимать, почему оно вообще возникает. Работа Ляпунова связывала практическую статистическую закономерность с общими математическими условиями. Позднее условия теоремы расширяли Линдеберг, Феллер и другие исследователи.

Центральная предельная теорема описывает не просто сближение среднего с постоянной, а форму распределения отклонений. Из суммы вычитают её математическое ожидание и делят на величину, характеризующую общий разброс. При выполнении условий Ляпунова распределение полученной нормированной суммы приближается к нормальному. В отличие от закона больших чисел, речь идёт о масштабе и распределении сохраняющихся случайных колебаний.

Условие Ляпунова ограничивает совокупное влияние больших отклонений слагаемых относительно дисперсии всей суммы. Оно достаточно для заключения теоремы, но не необходимо: позднейшие результаты дали более широкие условия. Поэтому ни сама теорема, ни её историческое значение не состоят в утверждении, будто любая сумма автоматически имеет нормальное распределение.

Зависимые испытания и возникновение цепей Маркова

Через несколько лет Марков атаковал другую границу классической теории. В 1906 году он опубликовал в Казани работу о законе больших чисел для зависимых величин, а в 1907 году в «Известиях Императорской Академии наук» — исследование специального случая зависимых испытаний. Эти работы привели к появлению цепей Маркова. Подробно этот перелом рассматривается в статье Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова. Связь с программой Чебышёва состояла в исследовании условий устойчивости средних; непосредственным поводом был также спор Маркова с Павлом Некрасовым о необходимости независимости.

Некрасов рассматривал попарную независимость как необходимое условие закона больших чисел. В исследовании историка вероятности Евгения Сенеты показано, что Марков строил зависимую схему именно как опровержение этой необходимости. Отсюда не следует обратное утверждение, будто независимость не нужна ни в одной вероятностной задаче: установлен был конкретный класс зависимости, для которого удавалось доказать предельный закон.

В простой цепи вероятность следующего состояния определяется текущим состоянием и не требует заново учитывать всю предшествующую последовательность. Для однородной цепи правила перехода не меняются от шага к шагу. Такая схема отличается и от независимых испытаний, и от произвольной зависимости: она задаёт проверяемую математическую структуру. Начальное распределение и вероятности переходов позволяют описать последовательность целиком.

Частные схемы, которые сегодня можно представить как цепи, существовали до Маркова: задачи о разорении игрока, урновые модели и другие вероятностные конструкции. Сенета связывает особый вклад Маркова с общей постановкой и общими результатами, а не с первым появлением любой зависимой последовательности в математике. Это различие позволяет точнее оценить новизну работ 1906–1907 годов.

Связь с математической статистикой

Переписка Маркова и Чупрова

Первоначально Марков относился к статистике довольно настороженно. Он стремился держать теорию вероятностей в границах строгой математики и критиковал чрезмерно свободное использование вероятностных аргументов в социальных исследованиях.

Ситуация изменилась благодаря переписке с Александром Александровичем Чупровым — одним из ведущих русских статистиков начала XX века. Encyclopedia of Mathematics отмечает, что их многолетняя переписка постепенно сблизила вероятностную и статистическую традиции Российской империи и привела к важным результатам в математической статистике. Это ещё одна важная линия наследия школы: строгая вероятность начала соединяться с реальной статистической обработкой данных.

Чупров происходил из другой интеллектуальной среды и занимался экономической и социальной статистикой. Его общение с Марковым показало, что спор между «чистой вероятностью» и прикладной статистикой может быть продуктивным. В переписке обсуждались выборочные методы, корреляция, дисперсия и статистические оценки. К 1910-м годам Марков уже гораздо активнее обращался к реальным данным. Одним из наиболее известных результатов стал опыт 1913 года с 20 000 букв «Евгения Онегина».

Переписка началась 2 ноября 1910 года и продолжалась до начала 1917 года. Чупров не был просто получателем готовых методов: вопросы статистики наблюдений и теории дисперсии побуждали обоих корреспондентов уточнять свои позиции. Сближение вероятности и статистики происходило через обсуждение конкретных трудностей применения математической модели.

Исследование «Евгения Онегина»

Исследование текста Пушкина было приложением вероятностной модели к наблюдаемой последовательности. Марков использовал реальный зависимый массив данных, чтобы проверить теоретические представления о цепной зависимости. Текст стал лабораторией для теории вероятностей. В опубликованной работе 1913 года объектом анализа стало чередование гласных и согласных в последовательности 20 000 букв. Подробно этот эпизод рассматривается в статье Марков и «Евгений Онегин».

Этот пример связывает два уровня работы: теорема устанавливает свойства заданной схемы зависимости, а подсчёт букв показывает, насколько конкретные наблюдения согласуются с выбранной схемой. Рассмотрение текста как последовательности двух состояний не означало математического объяснения литературного смысла произведения. Оно выделяло ограниченный признак, пригодный для количественного исследования.

Продолжение традиции и историческое значение

После смерти Чебышёва и завершения активной деятельности его ближайших учеников вероятностная традиция не исчезла. В начале XX века её продолжали Сергей Натанович Бернштейн и другие математики. Бернштейн развивал предельные теоремы, цепи Маркова и теорию вероятностей и позднее подчёркивал огромную роль Маркова в распространении методов Чебышёва. Эта линия постепенно перешла в советскую математическую школу.

Андрей Николаевич Колмогоров не был непосредственным учеником Чебышёва или Маркова и принадлежал уже к другому поколению. Тем не менее его теория вероятностей выросла на почве, подготовленной российской классической школой. В 1931 году Колмогоров разработал аналитические методы теории марковских процессов, а в 1933 году в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал современную аксиоматическую основу дисциплины. Историческая преемственность состояла не в прямой университетской цепочке, а в проблемах и методах. Колмогоров работал уже в московской научной среде; аксиоматизация 1933 года была самостоятельным этапом, а не простым переименованием результатов петербургских предшественников.

Особенно важным оказалось наследие Маркова. Цепная зависимость дала систематически исследованный класс случайных процессов с последовательными переходами между состояниями. В 1920–1930-е годы Норберт Винер, Колмогоров и другие исследователи построили теорию процессов с непрерывным временем и состоянием. Современная стохастика выросла далеко за пределы исходных работ Маркова, при этом общая теория зависимых процессов потребовала новых методов и понятий.

Не менее долговечной оказалась линия Ляпунова. Центральная предельная теорема стала одним из фундаментальных результатов всей современной статистики. Условие Ляпунова и метод характеристических функций вошли в международную математическую традицию. Позднее её условия расширяли Линдеберг, Феллер и другие исследователи. Таким образом, две главные ветви школы — Марковская и Ляпуновская — стали основами двух огромных областей: случайных процессов и предельных распределений.

В историческом обзоре А. Н. Ширяева классическая линия Чебышёва, Маркова, Ляпунова и Бернштейна связана прежде всего с предельными закономерностями и методами их доказательства. Работы Хинчина, Леви, Колмогорова и Гнеденко продолжили исследование условий сходимости и расширили круг возможных предельных законов. Такая преемственность позволяет говорить о длительной научной традиции, сохраняя различия между поколениями и учреждениями.

Значение петербургской школы проявляется в нескольких устойчивых результатах: строгих оценках вероятностей, развитии предельных теорем, общей схеме цепной зависимости и практике передачи исследовательских задач через преподавание. Они стали частью международного математического языка. При этом неравенство, предельная теорема и модель цепи решают разные задачи; их объединяет требование явно указывать предположения и доказывать вывод.

Хронология

Год	Событие
1821	Рождение Пафнутия Чебышёва.
1840-е	Буняковский развивает вероятностные и статистические методы в России.
1860-е	Чебышёв регулярно читает теорию вероятностей в Петербургском университете.
1867	Выходит работа Чебышёва «О средних величинах».
1874	Андрей Марков поступает в Петербургский университет.
1876	Александр Ляпунов поступает в Петербургский университет.
1883	После ухода Чебышёва Марков принимает его курс теории вероятностей.
1887	Чебышёв публикует «О двух теоремах относительно вероятностей».
1894	Смерть Чебышёва.
1896	Марков становится ординарным академиком.
1901	Ляпунов публикует свой вариант центральной предельной теоремы.
1906	Марков распространяет закон больших чисел на зависимые величины.
1907	Марков систематически исследует зависимые испытания.
1913	Марков применяет цепную зависимость к тексту «Евгения Онегина».
1910-е	Переписка Маркова и Чупрова способствует сближению вероятности и математической статистики.
1920–1930-е	Идеи классической русской школы переходят в общую теорию случайных процессов.
1931	Колмогоров развивает аналитическую теорию марковских процессов.
1933	Колмогоров публикует аксиоматические «Основные понятия теории вероятностей».

См. также

• Цепи Маркова
• Работы Маркова 1906-1907 годов и рождение цепей Маркова
• Марков и «Евгений Онегин»
• Андрей Андреевич Марков
• Пафнутий Львович Чебышёв
• Александр Михайлович Ляпунов
• Закон больших чисел
• Центральная предельная теорема
• Случайный процесс

Источники и литература

• Чебышёв П. Л. О средних величинах. 1867.
• Чебышёв П. Л. О двух теоремах относительно вероятностей. 1887.
• Марков А. А. Исчисление вероятностей. Санкт-Петербург, 1900; последующие издания.
• Марков А. А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. 1906.
• Ляпунов А. М. Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. 1901.
• Seneta E. Markov and the Birth of Chain Dependence Theory // International Statistical Review. 1996. Vol. 64. № 3.
• Heyde C. C., Seneta E. I. J. Bienaymé: Statistical Theory Anticipated. New York, 1977.
• Basharin G. P., Langville A. N., Naumov V. A. The Life and Work of A. A. Markov // Linear Algebra and its Applications. 2004. Vol. 386. P. 3-26.